Nous prendrons encore pour exemple la fraction

ar 1 ,-» 3r -f- 2 * lï^Gx' + Sx—Vu'

cette fraction se réduisant à , lorsque x = i , nous différent eicronsses deux termes pour eu obtenir la valeur, et nous trouverons ... 3 x« — 3 • v

4x 3 — :ax-+-8’

les deux termes de cette fraction étant encore nuis dans llf^pothèsc de x = 1 , nous différencierons encore et nous obtiendrons

lq dénominateur seul se réduit h zéro lorsque Ton fait x =: t ; donc la fonction proposée , dans l'hypothèse de x — i , est infinie.

S 3 . Si l’ou appliquait la ibéme règle à la fraction (X e — l*

5*J » CALCUL DIFFERENTIEL.

gni devient - dans l’hypothèse de i= o, on trouverait en diffé-

rendant les deux termes de cette fraction ,

a* log a — h x log b

expression dont le numérateur ne détient pas nnl lorsque x=:o, et qui , par conséquent , donne log a — log b pour la valeur que prend la fonction proposée, lorsque x = o.

Il est bien évident que le facteur commun aux deux termes de la fraction proposée est a: — o , c’cst-à-dirc x j mais comment reconnaître ce facteur dans a x — b* ? Pour y parvenir, noos remarquerons <}ue , d’après l’art: (37),

a* = I -f* A - b h etc. ,

ixÊL » x B* x % '

+ B— -f- 4- etc. j »

donc en prenant la différence

et l’oh voit qne x est facteur commun de a x ~—b x .

84* U ne faut pas, cependant , croire que la règle que nous venons de donner suffise pour tous les cas : la démonstration précédente est fondée sur ce que les exposans m et n sont des nombres entiers ÿ mats s’ils étaient fractionnaires, on ne pourrait obtenir par des différentiations successives un terme ou x — «se trouvât élevé h la puissance o$ par conséquent , on ne pourrait, par le procédé que nouj avons employé, dégager la fructiou du facteur commun.

Soit donc, pour plas de généralité , l'expression

. -P (x **— tj) * + ()(x — «)^ -4- B(x a)^ - f- etc.*’

P'(x—a)*' -b Q'ix — af -+- Â\x — a'f + etc.

dans laquelle x,t , y , etc. , sont de. fractions croissantes ainsi qne *■', t' i y't ctc - Cette expression se réduisant à 2 lorsque x — a , nous pourrons , au lieu de changer x en a , changer x eu a -+- h ,

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DE LA FRACTIOS

en nous réservante faire /irrro, après avoir réduit; alors l'hypothèse sera la même que si nous eussions fait immédiatement x == a, et nous aurons

Fx Ph a 4- Qh C -r- Rh y 4- etc.»

P'h* -+• Q'h’’ -t- K'h 7 ,4- etc. ,

En considérant « et a’, qni sont les [vins petits exposant dans chacune- de ces suites , il peut arriver trois cas ,

Dans le premier cas , en divisant par h a les deux termes de la fraction (44) , on a i *

Fx Ph*—*' çh i ~ a '+ nh y — al

<fX ~~

P'+ ()'/i C " 4- R'h' 4- etc.

ptjr hypothèse, « surpassée', par conséquent le nombre a — -a' sera positif; h plus forte raison i — «', etc., y — - a le sont aussi, puisque «, C , y, etc. , vont en augmentant; C — etc”,

seront aussi des quantités positives , par la raison que les expressions «', C 1 , y’ , etc. , allant eu croissant, «'est moindre que {' , que y' , etc. Cela posé , si l’on fait h = o , tous les termes du second membre de l’équation (45) s’évanouissent , hors P 1 ; donc celte équation se réduit alors &

♦ Fx o i

Dans le second cas où « ==«', le terme Pli se réduit

k Ph° = P , donc d’après* l’inspection de l'équation (4 5) , on voit

r* * Fx \ . P

que, lorsque x = a, se redoit à yp.

Enfin , dans le troisième cas où l’on a « <«', en divisant par /t", on écrira aindflkuation (-J }) :

Fx __ P + Hh y ~ a ■+. ctc ,

? X P'h*'—* -+- Ç'/i e ’-* 4- ctc. ’

et Ion voit que l’bypothèsc de h — o réduit celte équation A Fx P

iz -/mr

(h — a)î hi

(3a’ ■+■ 3 ah -+- h?) t /»>