P M < PM, P"M“ < PM

ou f(f + h)<fx, /(.r — &)</*.

Si au contraire PM, fig. 1 3, est un minimum, en repré- FIG sentant la valeur de x, qui correspond au minimum par AP, et en prenant PP‘ = P p" — h , nous aurons pour les conditions du minimum ,

P M’f> PM, " P M" > PM.

ou * f{x+ h)>fx, f(x — h)f>fx.

Ainsi, lorsque/ - ( x -}- h) et f(x — A) , seront en même temps plus petits qu efx , il y aura un maximum, et si ces deux fonctions sont en même temps plus grandes que fx , il y aura un minimum j^enfin , si l’une de ces fdnelions est plus grande et l’autre moindre que fx, il n’y aura ni maximum ni minimum. i

q 4- Cherchons donc dans quel cas ces conditions peu-

58 CALCrt. DrFTtRENTIEl.

•vent être remplies : pour cet effet, nous avons par le théorème de Taylor ,

D’une autre part, si dans cette formule on change h en — h , on trouve ,

f{x—hy=j — A £h + — ~ +etc. (48).

Pour que y= fx soit un maximum ou un minimum, il faut donc que ces deux développemens soient tous deux plus grands ou tous deux moindresque y ; or, cela ne peut > . " dv •

être qu’à moins que ^ ne soit nul. En effet, t>si l’on donne une valeur très-petite ah, on pourra toujours faire en sorte que h surpasse la somme algébrique de tous les termes qui le suivent - } dans ce cas , le signe qui affectera h , sera le même que celui de — h , joint aux termes qui le suivent : ainsi , dans cette hypothèse , si ^ h est positif dans l’un des développemens (47) et (48), ce développement sera plus grand quejr, et sera moindre

que j , si jjh h est négatif. Le signe qui affecte ^ h «tant

contraire dans ces développemens , il faut que si i h

est positif dans l’un , il soit négatif dans l’autre ; d’où il suit que l’une des quantités f ( x + h ) et f ( x — h), sert plus grande que fx , et. que l’autre sera moindre que fx.

Si j - h n’est pas nul , il ne pourra donc y avoir de maxi-

Oigitized by Cîbogle

DES MAXIMA ET SriJfIMA. 5 g

muin ni de minimum ; mais si == o , alors les dëveloppemens (47) et (48) se réduisent à

f(x + h) = j + + g £ + etc. ,

/(^)=/+Èt -£^+ etc -

Dans ce cas, le signe des termes qui suivent^ dépendra de — - , si l’on prend h assez petit pour que ce terme surpasse la somme de tous ceux qui le suivent ; et comme gn— a le meme signe dans les deux développemens , il en

résultera que si g — est positif , les deux fonctioris de

) et de (x — h) seront plus grandes que fx ; dans ce cas ,

Jx sera un minimum. De me me, si g— est negalit , on

voit que fx sëra un maximum.

g 5 . Pour compléter cette théorie , nous remarquerons

que outre ^ — o , on peut avoir encore ~-r= ojdans ce cas , il ne peut y avoir maximum ou minimum , que lorsque = o. Alors le signe des quantités qui suivent dV

y dépendra de , quand on prendra h très-petit ) et d*y » , ,

l’on prouvera que si est positif ,fx est un minimum, .d*y f

et que si est négatif, fx est un maximum; ainsi de suite.

-En général, lorsque le premier coefficient qui ne s’évanouit pas, est d’ordre pair , il y a un minimum s’il est positif, et un maximum s’il est négatif.

60 CALCUL DI1TERKKTIEL.

gf>. Pour premier exemple prehons la fonction a <— bx -|-x a ; nous aurons donc

jsa-ix + i*;

différenciant et divisant par dx , nous obtiendrons

dr i . d’y

Cette valeur positive de nous apprend que la fonction a un minimum. Pour déterminer l’abscisse qui correspond à ce minimum , nous égalerons à zéro la valeur de

jj~ , ce qui nous donnera x = ^ ; si l’on substitue cette va-

leur de x dans celle de on trouvera^- = a T pour le

minimum cherché.

97. Soit encore la fonction «4 -f- 'b 3 x — c*x* $ différenciant l’équation y = a* -f- b 3 x — c*x* , et divisant par dx , nous trouverons ,

Par la valeur négative de jjp- , on voit qu’il y a un maximum dans la fonction; l’équation b 3 — ac*x = o nous donne x — ~— t pour l’abscisse qui correspond à ce

maximum , et en substituant celte valeur de x dans celle de j-, on trouvera

^ = a4 + 4lTgS. Soit encore l’équation

nous trouverons , en opérant comme ci-dessus ,

APPLICATIONS DE LA T0ÉORIE DES MAXIM* ET MlNIMA. 6t

égalant à zéro la valeur "de ~ , nous avons

9 a a x* — M = o , d'où x = zti j ces deux valeurs de a: étant mises successivement dans celle de pi » nous apprennent qu’il y a dans la fonction un minimum et un maximum. Le minimum corres-

fc’ i

pond à l’abscisse x — -f- ^ , et le maximum à l’abscisse b>

x — — ç-J en mettant ces valeurs dans celle d ey, nous

trouverons y = c 5 — , pour le minimum , et

î i ai 1 ,

y ■= c 3 — — , pour le maximum.

Application de la théorie des maxima et mi ni ma d la solution des divers problèmes.

phohlème i.

99. Partager un nombre en deux partie» , telles que le produit de l’une par l’autre soit le plus grand possible.

Soit a ce nombre, et x l’une des parties ; l’autre sera a — x. Donc x ( a x ) est la quantité , dont on veut chercher le maximum : différenciant et divisant v par dx , l’équation y — x {a — x) = ax — x*, nous trouverons

dr # d 3 y

dx ’ dx’

La valeur de nous montre que la fonction renferme

effectivement un maximum. Si ce coefficient se fût trouvé

d’un signe contraire , le problème aurait été impossible.

CALCUL DIFFERENTIEL.

FIG. i4.

vurtMi-:' liCiU.

En égalant à zéro la valeur de ^ , nous trouverons x

rt

= i a , ce qui nous annonce qu’il faut que le nombre a soit partagé en deux parties égales , pour que le produit soit un maximum.

< problème il

ioo. Entre tous les cylindres inscrits dans un cône droit , déterminer celui qui a le plus grand volume.

Soit a, fig. x 4 > la hauteur SC du cône , b le rayon de sa base, et x, la distance SD du sommet, au centre du cercle supérieur du cylindre.

Les triangles semblables SAC, S ED, nous donneront SC : AC :: SD i ED ,

ou

a : b : : x : ED ,

donc

ED

Soit i : n le rapport du diamètre à la circonférence ; on sait que le cercle , dont le rayon est r a pour surface

bx •*” 1

nr *. Donc le cercle EG F, qui a — pour rayon, a pour»

surface x a ; multipliant celte surface par la hauteur

DC du cylindre , c’est-à-dire , par a — x , nous auroni a:* ( a — x ) pour le volume du cylindre j ains^ 1 cquation à différencier est # ,

jr = —r(fl.r* — x 3 )}

on déduit de cette équation

Ï7 = IF (2 3fr a ) et^±=-~ (an — 6x ) ;

APPLICATIONS DE LA THEORIE DES MAXIMA ET MIMMA. 63 égalant à zéro la valeur de ^,ona

— - ( 2 ax — Sx* ) = o , ou plutôt 2 ax — Sx* == o , équation qui est le produit des facteurs x et 2a — 3x, et donne par conséquent x=o,ou x = la valeur x=o, ne peut correspondre à un maximum , puisque dans cçtte hypothèse -j— se réduit à , nombre positif. Cette va- <X*Y

leur de jr^r > indique un minimum ; et en effet, quand

, x — o » le .cylindre se réduit à la^e du cône , ( car plus le cylindre est haut plus il est mince).

La valeur x = -j , est donc la seule qui paisse répondre à la question ; et dans cette hypothèse , se réduit

. ÜTTi’ , ' X

a — j nombre négatif. Il résulte de ce qui précède ,

que le plus grand cylindre circonscrit au cône , a pour hauteur les ~ de celle du cône.