PROBLÈME I V

io3. On veut faire entrer dans un vase cylindrique une certaine quantité d’eau dont le volume est connu ; on demande quelles dimensions il faut donner à ce vase pour que sa surface interne soit aussi petite qu’il est possible.

Soit V le volume d’eau donné , et x le rayon de la base du cylindre ; nx* sera l’aire de la base du cylindre .Et puisque la hauteur de ce cylindre, multipliée pàr sa base, est «‘gale en son volume , on aura

hauteur du cylindre + tt x* — V *

APPLICATIONS DE LA THEORIE DES MAXTÏtA ET MIN’IJIA. 65 d’où l’on tirera

hauteur du cylindres — - :

en multipliant cette hauteur par la circonférence de la hase qui est 2 ir x , on aura

r -xv

■xx 2 x

pour la surface convexe du cylindre. Si , à cette surface * ofl ajoute 7 r x* , qui est celle de la base du cylindre , l’éqbation à différencier sera

et l’on en déduira (

dy n y , dv 4 y 1

• ux x 2 1 1 ux x 3 1

La valeur de ^ étant égalée à zéro donne

On voit que cette valeur répond à un minimum , puis-

quelle rend positive celle de j— - : le rayon de la base du

cylindre cherché sera donc V^' Si on met cette valeur

dans l’expression de la hauteur , 011 trouvera pour la hauteur du cylindre ,

ce •

Ce problème est applicable à l’artillerie j car , une charge de poudre étant donnée , on peut se proposer de trouver quelles dimensions devrait avoir un mortier à chambre cylindrique pour que la poudre exerçât le plus petit effort contre les parois de la chambre.

On voit que cette question se réduit à trouver quelle est la plus petite surface qu’on puisse donner à la chambre du mortier^ et il suit de ce qui précède que le diamètre de la chambre doit être égal à sa hauteur. •