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WPtlCATlOXS DE LA THÉORIE DES MAXIMA ET MINIMA. <f I
réduisant au même dénominateur, ^ multipliant les deux termes de la première fraction par x, et les deux termes
• de la seconde par \ , nous obtiendrons
( a •+■ x ) x’dx t b* ■+• r* *,
réunissant et réduisant les termes du numérateur , et divisant par dx , il nous viendra enfin
dy — ab*
dx iyi>+x- 7
égalant le numérateur à zéro , nous trouverons
X = y/aô*.
Pour prouver que cette valeur répond à un minimum dans cettg hypothèse , nous mettrons seulement , art. 1 06 , à la place du numérateur qui est le facteur nul , son coefficient différentiel , et nous aurons ainsi
valeur essentiellement positive. On ne fait pas la substitution de la valeur de x , car on voit qu’un carré x* est toujours positif.
problème vil.
no. Trouver le plus grand triangle ■ rectangle quort puisse construire sur une droite donnée.
Soient a cette droite , AB , fig. 18 , x l’un des côtés du fjq, i 8. triangle, l’autre sera \/ «»— *» ÿ donc lasurfacedu triangle a pour expression
ainsi l’équation du p^blême sera , art. 102 ,
j~x y/n 1 — z’ ou plutôt y — ÿ a >x' —x* t
d’où l’on déduira
• dy o’r— * ît 3
dx y à 1 !* ~ x 4 ’
Cette valeur , étant égalée à zéro , donne
a 2 je — 2.x 3 = o , ou x ( a 2 — 2 x 4 ) = O ,
équation de laquelle on tire
x — 0, ou zx 2 = a 2 .
x ne pouvant être nul, il n’y a que cette seconde équation qui puisse convenir : elle nous apprend que les deux côtés AC , D C sont égaux.
En différenciant le facteur a 2 — xx 2 , on trouve, art. 106, •
d \y * x d (à* — ax’) 4 1 ’
(Lr 1 yVi 1 —x* ^ dx ' s/a'x' —x* ’
Ce résultat étant négatif, l’hypothèse de a 2 — xx 2 = o détermine, pour x , une valeur qui correspond à un
maximum.
De la signification géométrique des coefficient différentiels.
ni. On a vu , art. 70 , que — représentait la tangente trigonoinélrique de l’angle que fait , avec l’axe des abscisses, une tangente menée au point dont les coordonnées sont x et y, comme c’est le fondement de ce qui va suivre, on peut démontrer à priori cette pro-
SIGNIFICATION DES COEFFICIENS DIFFÉRENTIELS. ?3 •position de la manière suivante ; soient, fig. 4 , PM— y, FIG. 4. PP' — h ; en menant la parallèle MQ à l’axe des abscisses, on a donc
MP'=f{x + h),
M 'Q =/(* + h ) — /*=£ A + % rz + etc -*
or
MQ : M'Q,.: Is tang S =
et en mettant pour les expressions M'Q, MQ, leurs valeurs , on aura
tang. 5 =
& h 4 . ïr ÎL 4. etc
dx + dx> 1 . a + etC ’
dy , d’y h
U dar r dx’ i.à"^ elC ‘
Passant à la limite , h est nul , et tangente S se change en tangente T. *
Donc , alors ,
tang r = £. ;
Cela posé, si PM devient un maximum , la tangente MT , fig. 1 C ) , étant alors parallèle à l’axe des abscisses , FIG. 19. elle fait un angle nul avec cet axe, et comme on a vu <]ue la tangente trigonométrique de l’angle formé par la tangente avec l’axe des x était représentée par
jj , on a donc , dans ce cas , *jb = o.
On démontrerait de même que, si PM était un minimum , la tangente trigonométrique devenant aussi mille dans ce cas , on devrait avoir — = o
dx
Ainsi , cette expression jj n’expriqje autre chose que
la condition du parallélisme de la tangente en M à l’axe des abscisses.
74 CAtCtTL DIFFEnEKTIEI.
1 12. Examinons, maintenant, dans quelle circonstance est positif ou négatif.
Pour cet effet , considérons d’abord le cas où la FIG. ao courbe , fig. 20 , tourne sa convexité vers l’axe des ,, abscisses.
Soient AP, x; PM, y, PP — P' P" — h\ et par les points M et M ' , menons la sécante MM' S , et les droites MN , M IV', parallèles à l’axe des abscisses, nous aurons *
MO — MP— MP —f(x + h) —fx ,
c’est-à-dire ,
Or , la similitude des triangles MM’ O , MSN , nous donne
MO : MN : : M O : SN , ou
h : 2h : s M O : SN }
donc,
SN = zM'O ;
et , en substituant pour M ' O sa valeur , on a
D’une autre part ,
M"P'=f(x + ih)) si on en retranche
