NP" = PM
on aura
31" N =/(* + ai) -J- = £ ^ + SrS + etc ’ }
SrCNTFÏCATÏOV DES OOEFFIf.lEJfS DIFFERENTIELS. 7» ôtant de cette valeur de M" N, celle de SN, il restera , fig. 20, n °' *°»
M"S r=:-g b » + etc. . . . (5o).
Dans le cas où la courbe , fig. ' 21 , tourne sa concavité fig. ai. vers l’axe des abscisses, pour avoir M" S , il faudra, au contraire , retrancher de la valeur de SN celle de M" N , ce qui donnera
M"S=—~ h* + etc (5i).
En comparant ces deux valeurs (5o) et (5i) de M'S , on voit que , dans l’une , est précédé du signe -j- , et dans l’autrç du signe — .
Cela posé , on peut faire en sorte que le signe du premier ternie du développement de M" S décide de celui de tout ce développement , et comme le carré h * , qui est essentiellement positif, ne peut influer sur le signe
de -j— h 1 , le coeflicient diflférentiel décidera seul
du signe de la $Qmme ffe tous les termes de la valeur de M" S. * ®
En ne considérant donc les équation# (5o) et (5 1 ) , que relativement aux signes qui affectent chaque membre, on pourra supprimer h 1 , et les termes qui suivent
, et ces équations deviendront
d’où nous tirerons
g= + ars. .
tk.-LC.VX, DnTÎÉBEïnttV
Si l’on regardey comme une quantité positive , AI" S, FIG. ao. fig. 20 , tombant du même côté que y , sera positif : l’équation ( 52 ) nous apprend donc que, lorsque la courbe tourne , lîg. 20, sa convexité vers l’axe des abscisses , dv . •
-gjj est positif. . »
Si l’on considère ensuite l’équation ( 53 ) et la fig. 21 qui s’y rapporte, on verra que — M" S représente une droite qui est d’un signe contraire à celui de y , et que , » dV ,
FIG. n. par conséquent , jp-est négatif dans le cas de la fig. 21 ,
c’est-à-dire lorsque la courbe tourne sa concavité vers l’axe des abscisses.
En général , est du même signe que y lorsque la
courbe tourne sa convexité vers l’axe des abscisses, et
prend un signe contraire lorsque la epurbe tourne sa
concavité vers le même axe.
La courbe tournant sa convexité ou sa concavité vers
l’axe des abscisses , suivant que l’ordonnée est parvenue
à son minimum , ou à son maximum , on voit pourquoi
est positif dans le premier cas , et négatif dans le
second.
1 13 . On ditcncore qu’il peuty avoir un maximum ou un minimum lorsque ^ = co . Pour expliquer ce que
cette condition signifie , soit y = fx l’équation d’une FIG. aa. courbe AIN, fig. 22; il est certain que si l’on donne à x une valeur AP , cette équation déterminera l’ordonnée P AI.
Si l’on résout ensuite l’équation, par rapport à y, et qu’on en tire x — ^’ 5 lorsqu’on fera y — AP' (yalenr
signification des coefficients différentiels. 77 précédente dey ) , l’équation donnera x — PjJrI Dans ce dernier cas , y sera considéré comme l’abscisse , et x comme l’ordonnée, et l’on construira la même courbe, pourvu qu’on porte les abscisses y sur l’axe AY , et que l’autre axe *t regardé comme celui des ordonnées.
Dans cette hypothèse, on peut donc chercher le maximum ou le 'iuinimum de la fonction x dey. *Pour cet
effet, de l’équation proposée , on tirera ^ = M , et l’on
supposera lf=o; cela posé , l’équation ^ = M, 1101É
donnant on voit que lorsque M = o ,
dy*
^ = c© : ainsi, la condition necessaire pour qu’il y ait
un maximum ou un minimum dans le sens des abscisses,
est qu on puisse avoir = 00 .
1 14. Par exemple, si l’on prenait l'équation
y*z=px — b ,
on en tirerait |j~ = Cette valeur égalée à zéro donnerait^ - = 00 ; donc la courbe ne peut avoir un maximum dans le sens des ordonnées qu’à une distance infinie de l’origine. Examinons , maintenant , si elle a une limite dans le sens des abscisses ( par limite on dénomme , en général , le maximum et le minimum);
pour cela , il faut supposer infinie la valeur de jj^ , ce
qui nous donne ^ = 00 , condition remplie lorsqu’on faity = o; dans cette hypothèse, la valeur de se
réduit à ■— , résultat positif. On voit donc que la valeur de y =0 correspond à un minimum de x. Nous déterminerons ce minimum en faisant y = o dans i’éqnalion proposée, ce qui la réduir^^i.r — b—o, d'où
nous tirerons x =— pour le minimum cherché : ce mi- TlO.aS. niinum est représenté par AM dans la fig. 23.
1 1 5. En terminant cette matière , nous remarquerons
que l’équation ^ = oo , nous indique que la tangente
4 JT , fig. ?.3 , est celle d’un angle droit , et , par conséquent, est perpendiculaire à l’axe des x.-
Des Courbes osculatrices.
u6. Soient y — ç.r , et y = Fx , les équations de FIG. a4. deux courbes qui se rencontrent , fig. 24 , au point M dont les coordonnées sont AP = x ’ , PM —y , on aura donc , pour ce point ,
yx — Fx ;
supposons que x' devienne ensuite x' -f- h , les équations précédentes donneront
MP'== ? <x'+/0 = ? x'+ -’ÿ h + -^+elc..(54),
M"P’=F(x'+h)=Fx'+ï£ l 'h + +etc..(55)
Si tous les termes correspondans de ces développemens sont identiquement les mêmes, les courbes se confondront; si l’on a , seulement, Fx — ®x’, les courbes , comme nous l’avons vq,, n’auront de commun que le point l/ 1 ;
ri 1 - / àm.r' ,
si , outre rx = <px , on a = --^y , ces courbes se rapprocheront davantage; et encore plus, si, outre ces
DES COURBES OSCULATRfCES. *7Q
, .. . d’FP d’ f i' , . . ,
équations, on a encore d ^ ~ = d ( - , et ainsi de suite;
car, il est évident que la différence de 31" P' a MP', sera d’autant moindre qu’il y aura un plus grand nombre de termes égaux dans leurs développemens.
Cela posé , soient a , b , c, etc. , les constantes de l’équation jr = Fx-, on peut, sans changer, la nature de la courbe , donner des valeurs arbitraires à ces constantes : par exemple, si l’on a l’équation y* = rax ~j- nx*, qui est celle d’une ellipse, quelque valeur que l’on donne aux constantes m et n , cette équation ne cesse pas d’appartenir à une ellipse , puisque l’équation conserve toujours la même forme , ( bien entendu que l’on ne fait varier m et n que de grandeur et non de signes , et, qu’ou ne les suppose pas nuis). D’après cette observation, on peut regarder comme arbitraires, les constantes a, b, c , etc. , qui entrent dans les équations
dx 1 ’
dx‘‘
dx ' 1 ’
et en prenant autant de ces équations qu’il y a de constantes , on déterminera ces constantes par la condition que ces équations soient satisfaites.
Par exemple, si l'équation y =zFx ne contient que trois constantes a , b , <*, on posera
n , , dFx' <w d’/v d’ t y
tX — fX , — dx , , jy, — jy, •
On tirera, de ces équations, les valeurs de a , de b et de c en fonction de x , dej-' , de d — , , etc. ; on les substituera dans l’équation y m Fx. Alors elle jouira de cette' propriété que, lorsqu’on y. mettra x -f- ha la place' de x , l’équation (55) qu’on obtiendra , à l’aide de la formule
CALCUL DITTÉRENT1EL.
de Taylor, aura les trois premiers termes de son second membre respectivement égaux aux trois premiers du second membre de l’équation (54).
Ce que nous disons d’une équation qui ne renferme que trois constantes , peut s’appliquer à une qui en contiendrait utj plus grand nombre.
117 . Prenons, pour exemple, le cas où l’équation y — Fx représente celle d’une ligne droite; cette équation^ = Fx sera donc remplacée par celle-ci
y — ax + b . . . (56).
Les équations de condition nécessaires pour l’élimination des constantes a et b , seront
<p x txz ax -j- b , ou plutôt y = ax -(- b.
d'fr' a d/
dj.' ~ a ’ dx'~ a >
en éliminant a , on obtiendra
Substituant la valeur de b donnée par cette équation , et celle de a dans l’équation (56) de la ligne droite, celleci deviendra
dy> . ,
dy'
équation qu’on peut mettre sous la forme y—y'=^,(x — x). . .(58).
On reconnaît, dans cette équation, celle d’une tangente MT,, fig. 5 , au point M , dont les coordonnées sont x et y. Nous verrons bientôt pourquoi cette droite MT est tangente en M.
DES COURBES OSCULATRICES.
u 8. Reprenons la théorie précédente, et pour éviter les. périphrases , convenons de dénommer les courbes par leurs équations. Nous avons vu, art. i i6,quesi les courbes y — yx et j- = Fx avaient seulement un point commun , en représentant par x ety , les coordonnées de ce point , on aurait l’équation de condition Fx' = yx' ; mais qu’en déterminant deux constantes de l’équation
y ±= Fx , par les conditions Fx = yx' et ~~ — ,
les courbes commenceraient à se rapprocher.
Représentons par y = fx ce que devienty = Fx , après qu’on y a substitué les valeurs de ces deux constantes , la courbe = fx sera une osculatrice du premier ordre à la courbe y = yx j si toujours , en vertu des valeurs arbitraires qu’on peut donner aux constantes, on élimine trois des constantes de l’équation y — Fx , au moyen des équations suivantes ,
, , AFx‘ tl ‘Fx’ d’yc
Fx — • yx , , jÿT —
ss
et qu’on représente par $x ce que devient Fx après cette substitution , cette courbe y = ÿx sera une osculatrice , du deuxième ordre , à la courbcy = yx dont elle approchera encore plus; et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on ait autant d’équations de condition que fie constantes.
■ 1 g. Nous allons démontrer que , de deux osculatrices qu’on a obtenues ainsi , en faisant varier les constantes d’une même équation , celle de ces osculatrices qui est d’un ordre inférieur, ne peut passer entre l’autre et la courbe à laquelle on a mené ces osculatrices. ' ,
Par exemple soit MB , fig. 24, la courbe y = yx
g 2 CALCUL DIFFERENTIEL.
et MC son osculatrice,/ = 4 X du second o r dre j il s’agit de démontrer *que l’osculatrice / =/x do premier ordre ne put psser entre les ‘courbes MB et MC.
Pour cet effet, en mettant x ■+- h à la place de x dans ces équations, nous trouverons
, d*x'. d’fj' A* d’jx' h*
P’M'oap (x' = »*.-+- -jp apr — + dx' 7 a . 3
dJ.x' . d’4x' A* .dUx' h’ *
P'M"on 4 (x'+ fc) = 4x'-t- -gr h ■+■ dT^T^da"' ri*'*- , , , , f , , àfx' A »/x*A» ‘ d £'M. + etc
f(x + h ) =fx + dÿ +. 5 PÜ "7 + dx" a . 3 +
la courbe j- = tyx étant une osculatrice du second ordre k j- -=(fX, il faut qu’on ait
. T x — t x > — dx' ’ dx'» 'dx* ’
D’une autre part ,y—fx étant une osculatrice du premier ordre b y = <px , on a encore
- ? X > dx 7 — dx' >
f n vertu de ces équations , on a donc <px' = 4r —fx.
et seulement
dx 3
dF '
dx ' >
faisons pur simplifier
d»fj/ d^4^ .
dx 57- dx” 1
