DF.S COURBES OSCULATR1CES
les trois développemens précédens pourront s’e'crire ainsi : «ou, (■ x+h)=K+ Fh* + 'ÿ^+ etc.,
P’M" ou * ( *' ■ + h ) = K + Vh*- + + etc. ,
^‘^L+etc.-
dx' 3 a .3^ '
et en observant que tous les termes, à partir de celui qui est affecté de h 3 , ont h. 3 pour facteur commun , nous pourrons supposer
et , en faisant des réductions analogues dans les autres équations, on aura
? (x + h) — K + Fh* + Mh 3 , '
-J- 7i) = K -f- Fil* -f- Nh 3 ,
J[x + h) = K + Ph 3 .
Les courbes y — fx et y — ■'fx étant des osculatrices, l’une du premier ordre, et l’autre du second ordre,
/'"diffère nécessairement de — "On ne peut donc faire que deux hypothèses sur F, savoir :
V <^ ou r >-àr\.
S\F est moindre que , soit Z l’excès de sur F, on aura
cPfj . 1
d*fx' . »
si au contraire V surpasse - , la quantité Z sera négative.
En substituant cette valeur de -/*— , dans celle de
J[x -f- h), et en observant que /i* est facteur commun , nos trois développemens deviendront
?(*' + h) = K + (P + Mh)h' ,
■ty(x -f- h) = K -f- {V -f- Nh)h* ,
J[x' + 70 = K + {V + Z + Ph)hK
Or , en faisant h très-petit, il est possible que la quantité Z indépendante de h soit plus grande que les expressions Mh et JSh qui tendent vers zéro. Alors , si Z est positif , f[x -f- h) surpasse <f(x -f- h) et y y x -J- h) j dans ce cas, on a donc f{x -f- h ; ou P'M'" , fig. 24, plus grand que P' M' et que P M" , ce qui montre que la courbe,/ = fx , représentée par MM , ne peut passer entre les deux autres.
Si, au contraire , Z est négatif, on » f ( x -f- h ) ou P M' r , moindre que P M' et que P M". La courbe MM r , étant alors celle qui s’approche le plus de l’axe des x , ne peut être comprise entre les deux autres.
120. On peut maintenant expliquer pourquoi la droite, fig. 5 , qui, art. 117 , est uneosculatrice du premier ordre, est tangente à la courbe ; car il résulte de notre théorie, qu’entre cette droite et la courbe, on ne peut faire passer aucune autre droite , ce qui est la propriété de la tangente. . “ •
On dit que «la tangente a un contact du premier ordre avec la courbe. En général , une osculatricad’un ordre n a un contact du même ordre avec la courbe à laquelle elle .... /f-
DES COURBES OSCULATRICBS. 85
est osculatrice : ainsi , lorsqu’on a entre deux courbes les équations ,
, r , <V' AFx' dy A'Fx'
<ix i'x , dr . — dx , . du'‘ »
ces courbes ont entr’elles un contact du second ordre; ce contact sera du troisième ordre, si outre ces équations on a encore celle-ci
dy' VF*'
. dx‘> ~ dx" »
et ainsi de suite.
I 2 t. L’équation du cercle qui est
renfermant trois constantes, nous pouvons déterminer le cercle qui a un contact du second ordre, avec une courbé MN, fi g. 2.5, dont on a l’équation. Pour cet effet, soient fig. ü5. x et y , les coordonnées du cercle au point M ; la valeur de y sera donné! par l’équation
et dfVra remplacer Fx dans les équations du contact qui sont
AFx' dv’ __ d’/V dx' » tü" — "dx'» >
si nous adoptons en même temps a: et j pour les coordonnées de la courbe/ =:^x , au point de contact , les équations précédentes deviendront
r dv ___ dv' d’y*
^ ^ * 3x dx* * ilx 2
il faudra donc mettre pour les quantités^' , ^ ,
86 CAICCT, DrrrfjlÈNTIEt.
leurs valeurs tirées de l’équation (60) et de ses différentielles successives , qui sont
Or, substituer dansles équations(6i)îes valeurs dej - ', jp ,
^*,7 , données par les équatJIbis (60), (62) et ( 63 ), n’est autre
chose qu’éliminer ccs quantités entre les équations (60), (61), (6>) et ( 63 ), ce qui revient à effacer les accens dans les équations (60), (62) et ( 63 ), en observant d’ailleurs que quand
J' =/, on a x = X)
supprimant donc les accens on trouvera
Cr — P) ^ +(*—«) = o (65),
De celte dernière équation on tire
j — 8 = fj - (67);
dr*
Mettant cette valeufdans IVquation ( 65 ) , on obtient
«t 1 / ci.r
* i- «im;.'
DES COORBES OSCULATRICES. 87
Si dans l’équation (64) on substitue ces valeurs de x — « et de j' — p , on aura
dy'
ou , en ajoutant les numérateurs qui ont un facteur commun ,
/d*ry Vd X')
cette équation se réduit à
( dyy I 1 >
et , en tirant la racine carrée ,
dy
dr*
12*. Le double signe est relatif à la position de y : si la courbe tourne sa concavité vers l’axe de x , alors ÏL
7 di*
sera négatif, et poyr (juniors y se détermine positivement , nous prendrons y avec le signe négatif, et nous écrirons ?
dr*
cLi*
CALCUL Dirr^HENtlEL-
caria courbe tournant sa concavité vers l’axe des abscisses, -j- tient -la place d’une quantité négative, qui, lorsqu’elle sera substituée dans la valeur de 7 , la rendra # . « positive.
19.3- On a donné au cercle que nous venons de considérer , le nom de cercle oscillateur , et à son rayon , celui de rayon de courbure ) il ne s’agira donc, pour obtenir le rayon de courbure, que d’avoir l’équation de la courbe , pour en déduire les coefïiciens différentiels qu’on substituera dans la formule 69.
124- Si la courbe devait tourner sa convexité vers l’axe des x , nous ferions précéder la valeur de 7 du signe positif.
Par exemple, pour avoir le rayon de courbure de la “6- parabole, NAM , fig. 26 dont l’équation est x* = nry , nous trouverons
donc
, , dy ar d’y a
2xdx = nu \y , y- == — , ~r~z = — ,
J ' dx m di* 111 ’
et en élevant les deux facteurs à la puissance ],ona
or , la normale à la parabole ayant pour expression
-jr J", on voit que le rajon de courbure de la
DES COURBES OSCUI.ATÎUCES. 89
parabole est égal au cube de la normale , diyisê par le carré du demi-paramètre.
125. Le cercle oscillateur peut servira mesurer la courbure de la courbe en un point M, fig. a5 ; car si fig. »5. en ce point M on décrit avec le rayon de courbure un
arc ML. , très-petit , cet arc pourra être considéré comme l’arc même de la courbe, dont il s’écarte très-peu j or , plus l’arc ML a de courbure , plus son rayon est petit ; d’où il résulte que le rayon de. courbure est en raison inverse de la courbure de la courbe. •
Par exemple , en considérant l’équation (70), qui donne le rayon de courbure de la parabole , on voit qu’au
sommet de la courbe tfù x— o , y — ~ mais que lors-
quex s’accroîtsuccessîvement, y augmente, ce qui annonce que la courbure de la parabole va en diminuant lorsqu’on s’écarte du sommet.
