exprimant la tangente trigonomctrique de

• l’angle que , 1 a tangente en M, lig. 27, fait avec l’axe des .r, FIG. »j. l’équation de la normale assujétie à passer par un point dont les coordonnées sont a et p , sera

. nx, " " .

Cette équation étant la meme que l’équation ( 65 ) dans , laquelle a et jS sont les coordonnées clu centre du cercle ©sculaleur, on voit que le rayon de ce cercle est une normale à la courbe.

1 97. Si maintenant par tous les points de la courbe MM M"M‘" . fig. 28 , on mène des rayons de courbure MO ,

M O’, 31 'O ', etc. , les centres 0 , 0 ', O", détermineront

une courbe à laquelle on a donné le nom de développée.

128. Celte courbe qui est le’ lieu de tous les centre*, ne. >9. est ainsi appelée , parce que si AZ , fig. 29 , est la développée d’une courbe quelconque BC , et.que sur AZ on applique un fil qui, se terminant tangentiellément, soit fisc au point J? de la courbe BCj lorsqu’on développera c.e fil en le tenant constamment tendu , l’extrémité C de ce fil décrira dans ce mouvement la courbe BC.

, Cette courbe BC, considérée relativement à la dévelop- * pce AZ , est appelée la développante.

129. Pour démontrer cette propriété, soit M , fig. 28, un point donné sur une courbe , et MO le rayon de courbure qui aboutit à ce point ; décrivons un petit arc MM' , et supposons qu’en M', le rayon de courbure s’accroisse de OO et devienne M'O'j si avec le rayon M O', on décritun second arc M’M",e t qu’au poiut M" le rayon de courbure s’accroisse encore de OO" , ainsi de suite; il est évident que, si un fil enveloppe le polygone OO’ Cf Cf" , etc., et se confondant avec MO, se termine en M , lorsqu’on fera • mouvoir l’extrémité M du fil , en le tenant constamment tendu , cette extrémité M décrira successivement la figure curviligne MM' M M " , entliêrne temps que le fil qui enveloppe le polygone, se déroulera.

Si les arcs deviennent de plus en plus petits , lâ figure curviligne et le polygone auront respectivement pour limites la développante et la développée; d’où il suit que . la développée, en se rectifiant successivement, engendrera la développante.

Fig. 3 o. 1 3o. Lorsque le rayon de courbure MO , fig. 3o , est

devenu M'U' , le rayon de courbure s’étant accrtfde toute. •

DES CODRBES OSCDLATRICRS. gt

la longueur Je l’arc OC/ , qui s’est rectifié, il en résulte que

M'O ' — MO = arc OC/.

i3i. Si l’on passe J’uu point à un autre de la courbe , non-seulement x ely varient , mais encore a , (3 et y varient en même temps , car a p et 7 , sont lés coordonnées et le rayon du centre du cercle oscillateur , qui diffèrent pour chaque point de la courbé : ainsi en différenciant l’équation (65) par rapport à toutes les lettres et en divisant par dx , nous obtiendron|

Ir-P)

<\*y . d’y dr 3 "* tLi 3

dy dC , dee

ilr dr ' 1 cLr ° 7

retraucliant l’équation (66) de celle-ci', il reste

d'ou Ton tire

dy dC da

“ dî dï — E ~ p 1

dy (Lr da

di ~ d£ dï X dC i

or , art. 67 ,

djr

da:

de - dC , dx

* On ne peut pas différencier autrement l’equation (y — C )" -f- (jc — «) a = y 9 , et scs dérives 5 cependant il semble que nous ayons agi autrement , lorsque de l’équation (60) nous avons’déduit les équations (6a) et ( 63 ). Je répondrai que, comme nous avions deux constantes arbitraires dans l’équation (60), nonslcs avons déterminées par la condition que les fonctions représentées par les premiers membres*des équations (6a) et ( 63 ), fussent milles; mais, sans cela, nous n'aurions pas eu le droit de conclure de ce que l’équation (60) a lieu, que les équations ( 6 a)et( 63 ) doivent aussi avoir lieu.

g2 CALCUL différentiel:

donc

dr d« dx

dx dx dC ’

et par conséquent , art. 24 ,

. dr" d«

dx üï '

si l’on substitue cette vale’ur de ^ dans l’équation ( 65 ), on

obtiendra

y — ? ~nz ( x — *)

FIG. 3i.

1 32 . Nous avons vu, art. 1 26, que l’equation y — (3 =

dx

( x — a) , était celle du rayon dé courbure qui passait par le point dont les coordonnées sont x et y. En rempla-

çant

dpP ar «ü»

ce sera toujours l’équation du même

rayon j mais l’équation (71' étant aussi celle d’une tangente menée au point de la développée, dont les coordonnées sont a et p ¥ , le rayon de courbure est donc tangente à la développée.

1 33 . Comme dans la démonstration suivante nous emploierons la différentielle d’un arc de courbe , nous allons déterminer cette différcntiejlc.

Supposons qu’une abscisse AP ~x, fig. 3 i , s’accroisse

* Oliservons qu'en general « cl C étant les coordonnées d'un point quelconque de la développée , l'équation de la développée sera

£==/«; donc j représente , art. 70 , l’angle que la tangente au

point a , C, fait avec l'axe des abscisses.-

DES COURBES OSCULATRICES. g3

iéPP'= h ; si nous menons la parallèle MO à l’axedes x, nous aurons évidemment

corde MM' = S/MO’ + MO* — s/h’ -f MO * ,

or,

MO =/(* + ») - A* J* + J ££ + etc

substituant cette valeur dans l’expression de MM' , et en représentant par A , par B,. etc. , les coefliciens de h 3 , de A4 , etc. , on aura

MM' = yA a -f h 1 + Ah 3 -f Ml + etc. * ou irar = V / ^(,+g) + ^3 + /î , i 4 + etc. J

donc