MM’

h V 1 + d? + Ah -f- Bh* -f- etc.

Dans le cas de la limite, la corde se confond avec l’arc que je représenterai par s -, de sorte que nous aurons

Am • /

Ax— y

1 + dT> »

d’où nous tirons , eu multipliant par d.r , ds '= \/ dx* -f- dy % .

i34- Pour la développée, dont les coordonnées sont «et p , nous aurons donc également

ds = )/ da 1 -f- dp”.

i 3 $. Différencions maintenant l’équation (64) par rap-

port à toutes les lettres , nous trouverons

tr— P) (4r — <¥) f (*— *) (dx— d«)= 7 d 7; .

l’équation (65, nous donne

(j — P ) ‘ÎT + ( * — a ) dx = o ;

retranchant ce résultat de l’équation précédente , il nous reste

% — {j — P) dp — (x — a) doc = 7 d 7 . . . . (72).

Si dans cette équatidn(72.)etdans l’équation (64) , nous substituons la valeur dey — fi , donnée par l’équation (71) , nous trouverons ces deux équations

<ie* ,

a) — (x — a ) da = 7 d 7 ,

mettant ( x — a ; en facteur commun , et tirant la racine carrée de la seconde , ces équations deviennent

( rie* -4- ri* 1 )

= 7<ty »

>ie*

divisant la première de ces équations par la seconde , on obtient

d 7 — 4/d -f- da* :

Or , nous avons vu , art. 1 34 > qu’en appelant s un arc de la développée , on avait

ds= v/dp* +da“;

en comparant cette équation à la précédente, nous en déduirons

d 7 = — . ds , ou d ( 7 -j- s ) = o , •

DES COURBES OSCU1ATRICES.

et comme toute fonction dont la différentielle est nulle , est constante , nous avons donc y -f- s = constante j donc si le rayon de courbure s’augmente , il faut que s diminue d’autant, ce qui s’accorde avecce que nous avons vu.

On énonce cette proposition en disant que le rayon de courbure varie par les mêmes différences que la développée.

i 36 . Soient, fïg. 3 o , MO — y y OB = s; MO' =y y OB—s' y nous avons donc pour le r^yon de courbure MO

ou

y -(-.s r= constante y

MO + arc OB = constante. . . . (73).

Pareillement , le rayon de courbure M' O' donne lieu à l’équation

ou

y -J- s' = constante ,

M O’ -f- arc O B — constante. . . . (74);

les seconds membres des équations (73) et (74), représentant une mêmq constante , nous tirerons de ces équa- 1 tions

MO 4. arc O B— MO + arc OB, et par conséquent ,

MO — MO — arc OB — • arc O'B — arc OO ,

ce qui nous apprend que la différence de deux rayons de courbure est égale à l’arc qu’ils comprennent entre eux , résultat conforme à celui auquel nous étions déjà parvenus par la synthèse, art. i3i. *