Voici de-quelîe manière on peut trouver l’équa

g6 CALCUL DIITÉREVTIEL .

tion de la développée: t°. on tirera de l’équation de la

courbe les valeurs dey , et des coefliciens différentiels

— , y—, etc. .suivant l’ordre du contact: 2°. on substituera

dx dx* . '

ces valeurs dans les équations (65) et (66), ce qui donnera deux nouvelles équations , qui ne seront plus que des fonctions de x; 3 °. éliminant x entre ces équations , on parviendra à une équation entre a. et p. Cette équation sera celle de la développée.

i 38 . Déterminons par ce procédé la développée de la parabole , dont l’équation est x* = my * , en différenciant on trouve

2Xtlr = mdy , et par conséquent

dy ar d’>- a

(17 ni ’ (U 4 ni >

substituant dans les équations ( 65 ) et (66), ces valeurs dey, de — et de ces équations deviennent

retranchant l’équation (75) de l’équation (76), multipliée par x , on obtiendra

'•‘Dans ma Théorie des courbes, du second ordre , ainsi que dans les antres traites de géométrie analytique , i équation de la parabole est y 3 = px : je n’ai mis relie équation sous une autre forme que ponr faciliter la différentiation. Lorsqu on voudra cmpldyer les formules usitées dans ces traites , il faudra changer réciproquement les coordo unées.

DES COURBES OSCUEATRICES. 97

D'une autre part , l’équation (76; multipliée par m‘, et réduite , nous donne

fax* — 2 m fi -{- m* = 0)

d’où l’on tire

En éliminant x entre les équations (77) et (78), on- aura

l’équation de la développée.

Mais avant défaire celle opération, remarquons que pour l’origine où x = 0, les équations (77; et ijïi) se réduisent à

« = 6 , p = — -, en prenant donc AB = , fig 3 a , fig.5*.

on a le point B de la développée j on voit ensuite par l’équation (78), qu’en donnant des valent s positives ou négatives à x , p augmente à mesure que ces valeurs s’accroissent’, d’où il résulte que la développée se compose de deux branches BL et BD.

Pour éliminer x entre les équations (77) et (78;, la première , élevée au carré , donne

d’une autre part, on tire de l’équation 78,

en élevant au cube les deux membres de cette équation, on trouve

égalant ces deux valeurs dex®, et divisant par m® , on obtient