FIG. 35, FIG

98 ^ CALCUL DIFFERENTIEL,

appelions p' la quantité p — y , et multiplions par 27 , cette équation devient

en faisant 22 ms=ji. L’origine est alors transportée en B,

puisque p' = 8 —

13g. Une osculatrice peut être située de deux manières différentes , h l’égard de la courbe avec laquelle elle est eu contact ; i°. elle peut avoir ses'deux branches , toutes deux au-dessus de la courbe , comme dans la ffg. 33 , ou toutes deux au-dessous comme dans la fig. 34 ; alors l’osculatrice ne fera que toucher la courbe; a 0 .- l’osculatrice peut avoir une branche au-dessus de la courbe, et l’autre, au-dessous, comme dans la fig. 35, dans ce cas , l’osculatrice coupera la coüÆè au point M'. '•i.'"' - •

140 . On va démontrer , fig 36, que le cercle oscillateur cou’pe la courbe.

Soient pour une même abscisse x -f- h ,

Y l’ordonnée de la courbe ,

Y' l’ordonnée de l’osculatrtce.

* Il e«t facile de prouver que les branches BC , S T) se tournent leurs convexités ; car en différenciant l’équation C ' 1 ex ria’ ,

■^jj, valeur négative pour

• positif , comme polir a. négatif : ce qui prouve que chaque brancha tourne sa concavité vers l'axe des x.

On trouve -p— = -

-m c rssioKjr' •’

DES COURBES OSCUL ATRICES. .99

On a donc , <• •

Y — <f ( x' - h) — ç.r' -j- Ah -{- Ch 3 4 - etc. ,

r = F(x + h) — Fx + Ah -f B’h* 4- Ch 3 + etc.

Or , puisque le cercle est une osculalrice du second ordre , les trois premiers termes de ces développemens seront les mêmes j donc la différence des ordonnées qui correspondent à x 4 * h , sera

(Ç— C)h* + etc (79).

Supposons maintenant que l’abscisse devienne x — h, il faudra changer h en — h, dans la différence des ordonnées, qui deviendra ,

: — (C— C)h s + etc (80).

Or, comme le premier terme des suites (79) et (80) peut surpasser la somme de tous les autres termes , en prenant . h assez petit , il en résulte que la différence des ordonnées changera de signe , lorsque l’abscisse, an lieu d’être x 4" Æ , seraa: — A; ainsi, en prenant, fig. 36 , PP" = PP'— h, si la différence des ordonnées correspondantes k x h , est une quantité positive . c’est-à-dire , si l’ordonnée P'M' de la courbe surpasse P’N ' , l’ordonnée P N de l’osculatrice surpassera l’ordonnée P 'M 'de la courbe: d’où l’on conclura que l’osculalrice est d’un côté au-dessus de la courbe et de l’autre au-dessous , et par conséquent la coupe.

Ce que nous disons du.cercle qui est une osculalrice du deuxième ordre , peut s’appliquer à toute osculalrice d’ordre pair.

14 1. Si l’osculatrice était d’un ordre impair , elle toucherait seulement la courbe , au lieu de la couper. Cela est évident d’aprèsJkdémonstration précédente.

1 00 CALCUL DIFFERENTIEL.

Des courbes transcendantes.

142. On appelle ainsi les courbes qui contiennent de* quantités transcendantes ou des coefEciens différentiels , et en général , les courbes dont les équations ne peuvent, être exprimées par un nombre fini de termes algébriques. Nous ferons connaître quelques-unes des plus remarquables de ces courbes.

• De la spirale et Archimède ou de Conon.

1 43 . Voici la génération de cette courbe : tandis que le .37. rayon AB , fig. 37 , décrit une révolution , un point A

se transporte du centre A à l’extrémité B de ce rayon , et se meut d’un mouvement uniforme , de telle manière que le point mobile qui était en A au commencement de la rotation de AB , se trouve en B lorsque AB a décrit une révolution entière autour du centre A. Le point mobile décrit dans ce mouvement la spirale d’Archimède.

Soient AB-=z a , arc BN — t , AM=z u : on a donc , d’après la définition précédente ,

AM : AN : : arc NB : B CD B,

d’où l’on tire

Cette courbe , comme on le voit , n’a pas ses coordonnées rectangulaires. Lorsque AB a décrit une révolution eutière , l’arc NB équivaut à la c jtaférence; donc alors