DES COURBES TRANSCENDANTES

Nous chercherons d’abord à éliminer l’arc z de la ina* nière suivante : nous différencierons l’équation- précédente , ce qui nous donnera

dx = dz — dn (82).

Pour avoir la valeur de dz en fonction de u , nous observerons qu’entre u et z nous avons la relation

u ;= sin z. i

Cette équation étant différenciée , art. 42 , on trouve

d’où l’on tire

du = dz-

, nt\u

dz =x — - ; cos a 7

il faut remplacer dans cette équation la valeur de cos z, par celle que nous donne l’équation

sin* z -j- cos*z*= a*,.

ou plutôt

u* -j- cos* z = a* ,

et l’on obtient

< 7 <lu

• dz — - > ■

\/ rt’ — u>

Substituant cette valeur dans l’équation (82) il vient

mlu

— du-.. ( 83 ) :

il ne s’agit plus que d'exprimer u en fonction àey. Pour cet effet, soit O le centre du cercle générateur BMR , fig. 3y , nous avons

' Ol f= \/ MO' — ME ' ,

ou N ' >

a—jr~\/a' — «*....(84)-

Fia. 39.

ï<>4 CALCUL DITTFHF.ICTIEL.

Élevant cette équation au carré , et réduisant , on en tire

u= y ?.aj- — y» (85; ,

et en différenciant ,

V an r — y *

Les équations '8^ ) et (h6) transforment l’équation (83) en

"<i r ( « —y ) «lr

dx-

Viuy — y' ' \/->ay — y> ’

réduisant , on trouve

V a ny — y * telle est l’équation de la cycloïde.

i5o. On peut encore obtenir l’équation de la cycloïde en fonction de l’arc , ainsi qu’il suit : l’équation u — sin z donne

z — arc ( sin = u ) ;

mettant pour n sa valeur tirée de l’équation (85), on a z = arc ( sin -= [/ a, y — ) j

cette valeur et celle de u étant substituées dans l'équation ( 8 i), on a

X — arc sin = ) — \/ y» . ( 87 ).

1 5 1 Pour discuter cette équation , on va prouver d’abord que y ne peut être négatif, ni plus grand que

* Le sinus ici correspond ati rayon a ; celui des tables serait

Si l’on voulait introduire ce sinus , il faudrait écrire

r= a arc (siu= Vjfr — — V *°Y —y'-

bES COURBES TRANSCENDANTES • lo 5

a a. En effet, si l’on fait y = — l’expression arc ( sin — V iay — y* ) , devient arc (sin = V — 2 nj' — ÿv» valeur imaginaire En second lieu , si l’on faitj‘= la S, . l’expression arc ( sin — J % ) 1 devient arc

(sin = 4 / 20S — S* , valeur imaginaire : donc, si à une

dislance EF = 2a de l’axe des or, on mène , fig. ,o , AB FIG. 4 o. parallèle à CD , la courbe sera comprise entre les parallèles CD et AB.

La plus grande valeur que puisse avoir y est 2/7, car si l’on fait rouler le cercle générateur de A en C , fig. 4 1 > le point M, qui était d’abord en A , s’élèvera successivement jusqu’à ce qu’il arrive en B , à l’extrémité du dia- . mètre BD. Alors , l’abscisse AD sera égale à DEB , c’est-à-dire , à la demi-circonférence du cercle générateur.

Ce résultat est conforme à celui qui nous est donné par l’équation (8e) , puisque si l’on fait y =2 a, on trouve x= arc (sin = o); or, l’arc dont le sinus est nul, doit être l’un des suivans o, DEB , 2.DEB , ’ôDEB , etc. , et l’on voit que dans le cas présent , cet arc est DEB.

Le point M parvenu en B , ayant donc décrit l’arc AB de cyrloide , si ce point continu^ à se mouvoir ^(décrira un second arc BC , semblable au premier ; enfin, si le cercle générateur continue toujours à rouler sur l’ajte des abscisses , le point M engendrera une suite indéfinie d’arcs de cycloïde Ch' C" , fig. 42 , C" B' C" , elc. Le FIG- Aïcercle générateur pouvant aussi se mouvoir dans le sens de A , vers A '' , le point jJ/ décrira encore une suite indéfinie d'arcs Ali' Â , AB' A ' , etc.

C’est l’assemblage de tous ces arcs , qui , dîfts le sens le plus général, constitue la cycloïde.

106 CA1XTTL DITTÉREîîTIEt.

1 5a. La normale au point M dont les coordonnées FIC. 43. sont X et J y , fig. 43 , est déterminée , art. 69 , par cette formule :

normale —y

si dans cette formule nous mettons la valeur de — tirée

de l’équation de la cycloïde , nous trouverons

normale —y */ -V~ r -}- i = zay ■

WG. 43. Pour construire cette valeur , menons la corde MD, fig. 43, nous aurons

DE : MD s s MD : DB,

y : MD : : MD : za , donc la corde MD = yzay,

et comme , par la propriété du cercle , l’angle BMD est droit , la corde MB sera perpendiculaire à l’extrémité de la normale MD : donc la corde MB prolongée est tangent^ au point M Je la cvcloide • car on sait que lu tangente et la normale forment cntr’ellés un angle . fi roi h

On pourrait donc construire la tangente au point M, en décrivant le demi-cercle générateur BMD , et en prolongeant la corde BMÿ mais pour n avoir pas à construire ce cercle générateur à chaque point de la courbe, il suffira de construire le demi-cercle générateur sur FIG. 44- la plus gi%nde ordonnée BD, fig. 44, 1® cycloïde j

et ayant mené par le point donne M la perpendicu-