DES COURBES TRANSCENDANTES. IO

laire ME sur BD , on tracera la corde BC-, alors la parallèle MT à cette corde , sera la tangente demandée : c’est unesuitc de ce qui précède.

1 53 . Pour avoir l’expression du rayon de courbure de la cycloïde , il faut , de l’équation de cette courbe , déduire

les valeurs de — et de ^ , que nous substituerons dan» dx dx*

l'expression du rayon de courbure , art. 1 22 ,

L’équation de la cycloïde nous donne d’abord-

dr V'aqr — r* .... (88). - >

dx y

Pour obtenir — faisons ^ = p .nous aurons donc aussi

dx* dx A

aa r ...- r .

et en différenciant , art. 23 , nous trouverons

mly

- f îr

X V/aay— y*>

donc .

multipliantcette équation par l’équation ( 88 ) nons obtiendrons , art. 24 >

dx'

io8 "* calcul mrrÉEEfîTret;

au moyen de ces valeurs , on a enfin

(“)LML ju

et en faisant passer .y au numérateur ,

i i i iii y —

7 = 2* a* jr* ±=z 2.2* a* y* = 2 .y 2qy :

ne. 45. donc le rayon de courbure, MM , fig, 45 , de la cycloïde , est double de la normale MR.

i 54 . On obtiendra l’équation de la développée en subs- 9 dy d’y*

tituant les valeurs de et de — — dans les formules ,

ax d.r* '

art. 121 ,

jr -p = .

Lîi

fi +¥.)*■

\ 1 «lxVdx

di* >. •• . . **

et l’on trouvera

donc

p — —jr, « = x + 2V/a a y-y* , ou, fig. 46,, ;

QM—MP ; a — AP -{- sÆffi,

DES COURBES TRANSCENDANTES. ïbg

et en observant que AP + ME = AK , la dernière équation peut s’écrire ainsi :

a = AR -f- ME (89).

Prolongeons BR, et prenons RL = BR = la , et sur RL décrivons la demi-circonférence RM'L ; cette demi- ' circonférence passera par le point M', à cause des cordes égales M'R et MR , et l’on aura ; „

arc MR = arc M’R et ME = ME' ;

substituant ces valeurs dans l’équation (89) , on trouvera

a= arc MR + M E ;

. a = arc M'R -{- y ' àap — ..... (90).

Telle est l’équation qui existe entre les coordonnées „AQ^z a et QM =: p d’un point M ’ de la développée. Prolongeons maintenant , fig. /fi, l’ordonnée CD = ia , FIG 46 . d’une quantité DA , encore égale à ia , et par He point A' menons la parallèle A’D à AD , et transportons l’origine A au point A . Pour cet effet, soient A'Q'= a, Çf M— p 1 , nous avons pour l’abscisse

Aff AD — AQ ,

ou : tz .. . .

r 1 a — \ circonférence génératrice — A Q , •

a = Tta — a ;

'à l’égard de l’ordonnée 3', nous avons

MQ =; AD — QM', .

on tire de ces équations

a. — va — a , P — au — PV au moyen de ces valeurs , l’équation (90) devient

va — «' = arc M'R -f- V — f 5 * t

— a' = arc RML — arc ML + V'aap'—f*

= ira — arc MX + \Aap-p' 1 ,

et par conséquent „

« — arc MX • — \/ 2a — p*.

Cette équation est celle d’une cycloïde : donc la développée d’une cycloïde est une autre cycloïde.

, 55. On peut démontrer de la manière suivante, par la synthèse, que la développée AÀ , fig. 4 ® » es * une c 7 “ gloïde : nous avons , •

arc LM' + arc RM' = ira , . •' ; ..

donc . , • '■ ■

arc LM = ira — arc RM ;

d’une autre part,

arc XM'= arc MRs=JR , art. 148 ; substituant cette valeur dans l’equation precedente, on aura

’ arc LM = va — A R — MZ? * ,

arc LM’ = LA ,

ce qui est la propriété de la cydoide.

MÉTHODE DES IEFIIflMEST PETITS.

De la méthode des infiniment petits.

l56. Les notions que nous avons de l’infini , se réduisent à cette proposition : une quantité n’est pas infinie lorsqu’elle est susceptible d’augmentation. Par conséquent', si l’on a x -f- a , et que x devienne infini , il faut supprimer a, autrement ce serait supposer que x peut encore s’augmenter de a , ce qui est contre notre définition. Cette quantité a , qui ne peut être comparée a x, est ce qu’on appelle un infiniment petit , par rapport àx.

Si l’on imagine que dans une fraction , le dénominateur augmente successivement , la fraction diminuera «ns cesse jusqu’à ce que le dénominateur devienne infini } et en représentant le signe de l’infini par ce caractère co ,

la fraction — • sera infiniment petite, par rapport à la quan- .

tité finie a.

i5j. Quoique deux quantités soient infiniment petites, il ne s’ensuit pas que leur rapport soit nul ; car, — :

— : : a : b. On sent d’ailleurs que deux quantités infiniment petites peuvent se contenir comme deux quantités très-grandes : ainsi , dx et éy représentant deux quantités infiniment petites , il suit de ce qui précède , que le rapdv t

port ^ n’est pas nul , résultat conforme à celui que nous

avons obtenu par la considération des limites.

i58. Lorsqu’une quantité x est infiniment petite par rapport à une. grandeur finie a , le carré x* est infiniment petit par rapport à x. En effet , la proportion,» a x x ; : x : x* , nous prouye que x est à a ce que x* est

na CALCUL DtrrëMNTtEt.

il x On démontrerait de même , à l’aide de la proportion x : r“ : : x* : x 3 , que x* étant infiniment polit par rapport a x, le lermo x 1 doit êlre infiniment- petit par rapport à x* ; c'est pour cette raison qu’on a divise les infiniment petits en différons ordres : ainsi dans les exemples précédens , x est un infiniment petit du premier ordre, x* est un infiniment petit du second ordre , x 3 est un infiniment petit du troisième ordre, ainsi de suite.

l5y. Observons que si .r est infiniment petit par rapport il n il en sera de même de x multiplie par une quantité finie h. hn cfTet x pouvant être considéré comme une fraction dont le dénominateur serait infini , on peut

, e „ e hc

représenter x par — : or , que I on ait — ou — , ces quantités n’en sont pas moins milles par rapport à a.

ifio. De même qu’un infiniment petit .m premier ordre doit être .supprimé lorsqu’il est à côté d’une quantité .finie, qu'il ne peut augmenter , on do t effacer un infiniment petit du deuxième ordre, qui serait à côté il’un infiniment petit du premier ordre , ainsi de suite.

Par exemple, si l’on a cette expression

a + >'JT 4- y* 4- dj- 3 ,

etquy soit un infiniment petit du premier ordre, y* en sera un du second , et ify 3 en sera un du troisième : il faut donc effacer , parce qu» rtj~ > ne peuf augmenter y*; et comme y* ne peut augmenter /y, on l’effacera à son tour; enfin on effacera aussi hy , puisque cet infiniment petit du premier ordre ne peut augmenter la quantité finie a , et il restera a.