y :: x f xy

ce qui m’apprend que puisque y est infiniment petit par rapport à i , xy sera infiniment petit par rapport à x , c’est-à-dire , sera un infiniment petit du second ordre.

162. On prouverait de même que le produit de trois infiniment petits du premier ordre , donne un infiniment petit du troisième ordre.

163. Nous pouvons maintenant expliquer la théorie de la différentiation , d’après la méthocft dfljfcfinimcnt petits. Pour cet effet , si on suppose que dans une fonction de x la variable x prenne un accroissement infiniment petit, représenté par dx , ensorte que x devienne x -f- dx , la différence du nouvel état au premier , sera la différentielle de cette fonction.

. 164. Par exemple , pour trouver la différentielle de ax, celte fonction devenant <i(x-|-dx)=tfx-f- <nlx , si on en retranche ax , il restera aàx pour la différentielle.

165. Cherchons encoi#la différentielle de ax' 1 ; il faut donc , de a«(x -f- dx ) 3 , retrancher ax? : développant et réduisant, on trouve d’abord 3ax a dx-f- 3rtxdx*-f- «dx 3 ; cela posé , adr 3 étant un infiniment petit du troisième ordre , ne peut augmenter 3«rdx a , par conséquent , on effacera adr 3 ; de même 3«xdx\ qui est un infiniment petit du deuxième ordre , doit être supprimé parce que 3«r a dx est un infiniment petit du premier ordre ; et il restera 3ax“dx , pour la différentielle-.

166. On différenciera d’après le même principe toute autre fonction de x , en ayant le soin de supprimer les in-

Il 4 CÀtCttl. différentiel.

Animent petits des ordres supérieurs , ce qui se véduit à ne .conserver que le premier terme du développement, ainsi qu’on le fait par la méthode des limites.

Par exemple, pour trouver la différentielle de fx , au lieu d’écrire

A + Bh+Ch*+ etc. ,

dfx

qui dans le cas de la limite donne — dx = Aàx pour la différentielle , on aurait

f( x -f- dx ) — fx + ^dr -f- Bàx* -f- Cdx 1 -(- etc. j retranchant. l«i|frictfc>n primitive , il resterait Aàx -f- bàx* + Cd r 3 j

et comme on devrait supprimer les infiniment petits de* ordres supérieurs , on ne conserverait que le terme Aàx , qui serait la différentielle cherchée.

ifi-7. Pour trouver la différentielle du produit de deux variables ,y, 2, on supposera que quand x devient x-j-dx, y devienne y -}- ày , et que z devienne 2 -f- dz. Le produit. yz se convertira donc alors en ( y -f- ày) ( 2 -(- dz ) j développant et retrahchant^'z* il restera yàz -f- zàjr d^'dz. Le dernier terme de ce résultat, étant un infiniment petit du second ordre , devra s’effacer, et l’on aura pour la différentielle de yz, l’expression jdz -f- zày.

168. On déduira ensuite de cette dernière différentielle, celle du produit d’un plus grand nombre de variables, et ensuite celle de x m , par les procédés que nous avons suivis, lorsque nous avons employé la méthode des limites.

j’ g. La différentielle de a z s’obtiendra aussi très-facilement , lorsque l’ori aura le développement de ef ce développement se trouvera- comme celui de a x h ,

MÉTHODE DES IVH.TIME!fT PETITS. Ïl5 I

art. 36 ; on cherchera ensuite la valeur de a x + ix — a*, et, ne conservant que le premier terme, on rejettera les autres comme des infiniment petits d’ordres infe’rieurs à celui du terme que l’on conserve. De la différentielle de a x , On déduira ensuite , comme nous l’avons fait , celle de log. x.