A l’égard de la différentielle de sin x , on a
sin(x-j-d.r) — sin x — sin x cos dx-f- sin drcosx — sinx L’arc x étant infiniment petit,
cos dx = 1 et sin dx := dx ; au moyen de ces valfeurs , on trouve
d. sin x = dx cos x.
1 7 1 . Le problème des tangente^ a donné en quelque sorte naissance au calcul différentiel : voici de quelle manière on résout ce problème , par la méthode des infiniment petits.
Soient PM et PM' , fig. 47 , deux ordonnée^ infini- fig. * 7 . ment proches, et MO une parallèle à l’axe des x;la tangente MT pourra être considérée comme le prolongement de l’élément MM ' de la courbe , parce que cat élément étant très-petit, est censé être en ligne droite. Nommons AP , x ; PM, y ; l’accroissement de x sera PP' — dx, et celui dey sera MO = dy. Le triangle infiniment petit MM O étant semblableau triahgle MPT, on a *
MO: MO : s MP: PT, ou • „
.dy- ! dx :: y ■ : PT,
On trouvera ensuite la normale , la tangente , et les équations de ces lignes , comme dans les art. 69 et 70.
jiS CÀIC.VL WTTÎÇllEtmn;.'
172 Pour avoir la différentielle d un arc, on regardera l’arc compris entre les ordonnées PMe t P' If , infiniment proches, comme une ligne droite; et alors , en nommant s l’arc total , MM' sera ds , et le triangle rectangle MM' O, donnera
MM' 1 = MO -f M O ,
Ou
da 9 = dx 9 + dj- 9 ;
tirant la racine carrée ,
ds = \/ dx 1 -f- dy*.
173. La méthode des infiniment petits, moins satisfai- «ante pour le raisonnement que celle des limites, compense ce désavantage par la brièveté des opérations, qu’elle peint en quelque sorte à laavue. Comme ces méthodes ont entr’elles une grande analogie, il était utile d'en faire le rapprochement. ,
De^ cas où la fçrmule de Taylor esc en défaut.
I^.En general, lorsque dans «ne fonction dex on met x -4- h à la place de x, In forme do la fonction reste la Yudme, puisque x -4- h entre partout où était x; ainsi* lorsque Jx renfi-rme un radical, f(x -+■ h ) doit aussi le renfermer : par exemple^ si l’on a
fx - Ai’
le même radical te trouve™ dans pression /(x-+- h) =l>+ x +h)' -t-
1^5. Il nen serait pas toujours de même , si ion donnait nne valeur particulière à x ( je veux dire déterminée ) : par exemple , si
\/ x a entrait dans Jx , il faudrait qucf(x -H h) contînt le terme 1 '
