Soit en general

j (a+h) — A -+- Bh*-Ch*+ Dh 1 4-... il ih* -4- 2yh n *-~ -4- etc... fqi)

le développement qu’on serait censé obtenir en faisant x = a, et dans

lequel n -4-“, représente une quantité qui tombe entre n et n -4- i * on va démontrer que le coefficient différentiel de l’ordre n -4- i est infin». Pour cela, en regardant a comme une variable, nous savons art. 53 et 5 } , que l’on a

d/(«4-A)d/(a + /i) d’/(rt -4- h ) à>*J (tt+ h) t x da “* dh » dû* d/i» ,C • 92;#

Différencions successivement par rapport h h l’équation ( 91 ) , et représentons pour abréger par M' t 2Y # , ZY*, etc., ce que devien-

Il8 CAI.CTJL DIFFÉRENTIEL.

Tient alors les coefficiens M et iV; nous aurons

»CA4-3,DA* ...+ M'h n —‘ -4- 2 V î 'A"*j-- , +etc. ,

— A ? =îC + a.30A .. 4- j»/»A— > 4- iVA»* 7-* + etc. ,

etc. etc. etc. etc.:

remplaçant les premiers membres de ces dernières équations par leurs valeurs données par les équations (9a), nous obtiendrons

U=S 4 - aCA4-a.3Z)A> . . 4 - ÆPA— 4 - iy>A»+;-* 4 - etc....{ 9 3 )

= 3C4- a. 3 OA... 4 - jM“h n — 1 4 - 2 V'A»*j— » 4 -etc..(ç) 4 ) etc. etc. etc. etc.

faisant h — a clans les équations {91), (93} et (94) , etc. , on a d/n „ d'/j’

f a = A > d^ =B> d^ = îC>etC -

Cela suffit pour déterminer les coefficiens A, B , C , etc. de l’équation (91).

Cela pose?, d'après l’inspection des éqnations (93; et ( 9 4 ) , on roi t que chaque différentiation diminuant n d'une unité , lorsque nous serODS arrivés à la n e différentiation , nous aurons

=.../ > A n— " 4 - 4- etc. =P+Qh 2 4 -etc. ,

et , h la différentiation suivante , nous trouverons d»+’/(a-*-A) i,

Or, - étant moindre qne l’unité, 1 est un nombre négatif : on

pourra donc écrire ainsi 1'cquntion precedente,

d n *'J\a 4- A) R 4 - etc.

da"4-*