Soit , par ex mple

fx = aojr — r’+a^-a 1 , en différentiant on trouve

dy ax

JL = 3 {a — x\ -t- jl-j : 5

dx V x * — <**

substituant ces valeurs et celles de , de -7— r-etc. , dans la formula

<Lr* tir 3

dV

de Taylor, art. 55 , on obtient

f[a -t- h) =. aox —

(*<"-*•> + Î7fe?)'

etc.

CALCUL DIFFERENTIEL.

Or , quand x = a, le terme multiplie par h devient infini , donc ce développement n’est plus possible.

Dans ce cas , d’après la règle précédente , on mettra x A- h à la place de x dans l’éqaation

fx — lax — x* -f- a\/ x* — à* ,

et l’on trouvera

f(x+ h) = lax - 4 - 2 ah — x* — - zxh — h %

A- a \/ x 2 -+- 2xh A- h 2 — a 2 > équation qui dans l’hypothèse de x = a , devient

on

J ( a A- h) = a 1 — h 2 -A-a\/h \SïaA- hj

développant par la formule du binôme , et représentant , ponr abréger , par les lettres A, B,C 0 etc. , les cocificiens donnés par cette formule, on a • • ,

\/ ?a A- h z= (aa A- h)* = A 1 A- Bh A - Ch 2 A- Dh 3 , etç.,

substituant , on trouve

f ( a -+- h) = a* — h 2 -f* a A \/ h A- aBh\ / , h A- aCh 2 \/ h a- etc.

i ^9. On voit , par cet exemple, qu’en mettant x A- h , dans la fonction, et faisant x = a : on peut introduire une ou plusieurs puissances fractionnaires de h j on développe ensuite séparément les termes qui sont susceptibles de l’étre , soit par la formule du binôme, soit autrement; et on substitue ces termes dans la valeur de J (a A- h ) , ce qui eu donne le développement.

180. Lorsque x reste indéterminé, le développement dcf(x A- h) ne peut contenir des termes affectés d’une puissance fractionnaire de h. En effet , supposons que l’on ait

f( xA~ h) x=fx A- ph a- qh 2 M \/ h ,

comme \/ h est susceptible de trois valeurs, ü/, N, P , nous aurons

CAS Eff DEFAUT DE IA FORMULE dE TAYLOR, ces trois développement dof{x 4- /* ) ,

f[x ■+■ h) =fx + ph + qh'

f(x 4- h) = fx 4- ph+ qh'.. ....

f{ x 4- h ) —Jx + ph 4- qh'

Or , Jx devant renfermer les memes radicaux que f ( x A- h) , art i 7 f , il faut qn cjx ait aussi trois valeurs différentes Q , R, .S ; en substituant successivement ces valeurs à la place de Jx, on aura

donc

J(i+À)=Ç4*p^4* qh * . .

J' ( x -h h ) = (J -t- ph + qh ' . .

f ( x 4- h ) = Q 4-' ph 4- qh * . .

J(x-t-h) = R-+-ph-+- qh * . .

f ( x -4- h ) ■== R ■¥ ph -¥■ qh * . .

/( x 4 h ) z=z R 4- ph 4- qh' . .

jf ( x 4 - h ) — S -4- ph 4 - q/»’ . .

f ( x + h ) =x S -¥■ ph 4- qh 1 . .

-t- iV,

f ( x 4- h ) = S 4- ph 4- qh * . . .

de sorte qne l’expression f( x 4- h) étant développée, aurait neuf

valeurs différentes , tandis que non développée

, elle n’en pourrait

avoir qu’auiant que Jx en comporte , et par conséquent liois dans l’hypothèse actuelle ; ainsi on ne peut supposer que le développement de f ( x h ) contienne une puissance fi actionnaire de h , sans tomber dans une contradiction.

1 8 1 . II est facile aussi de démontrer qu«*y ( x 4- h ) ne peut contenir dans son développement un ternie affecté d’une puissance négative de h , car s’il contenait un terme tel que , on aurait

J (x + h)=fx 4- ph 4- qh’ h ;

or en faisant h = o, le premier membre se change cnÿx, et le second, au lieu de se réduire à Jx , devient infini, à cause du terme

qu’il renferme.

i8a. Il en serait de meme si le développement contenait un terme

T2S CALCUL DIFFFJ?. CAS EN DÉr. DE LA FO RM. DE TAYLOR.

affecte d’un logaiitlrme de A; car si l'jn avait par, exemple , nn ternie tel que A lng h, ce terme , lorsqu'on ferait h es O , deviendrait A iogojor, le' logarithme de o étant l’infini négatif , le terme A log h sciait donc alors infini:

i83. M. Lagrange, qui le premier a démontré les propositions precedentes , a trouve de la manière suivante le développement île J ( x li) , sans employer Je calcul différentiel.

Soit y ■+■ A)î parla nature de celle fonction, il faut que,

lorsqu’on fait h = o ,/( x -t- h ) se réduise A fx, et par conséquent que la partie qui contient h dans celte expression, soit un multiple de h. Kepresenlous-la par Ph , nous aurous donc

f (x h) — fx •¥■ Ph.

P pouvant être aussi une fonction de h, si notis appelons p ce que devient P lorsque h — o, et Qh la partie qui dépend de h, nous aurons encore P — p- 1 - Qh. En continuant ce raisonnement, on aura cette suite d’equations •

y = f* Ph >

P = P -t- Qh »

Q = q ■+■ Ph , etc. , etc. , etc. }

mettant la valeur de P donnée par la deuxième équation dans la premièrc, il viendra

y = fx ■+■ ph •+■ Qh' ,

mettant la valeur de Q donnée par la troisième équation dans * résultat , on aura •

y = jx -s- ph -4- qh' -4- Jîh J ,

et en continuant ainsi , on aura en général

y = fx -J- ph -f- qh* -f- rh 3 -J- etc. , ,

ce qui esl la formule de Taylor.