ST7 + C
C étant arbitraire , nous pouvons déterminer cette constante par la condition que l’expression ( 3 ) soit nulle , ou ce qui revient au même par la condition qu’on ait y — <s lorsque x = b, alors l’équation (2) deviendra
d’ou l’on tirera la valeur de C, qui étant substituée dans l’équation (2; nous donnera
iqo. II n’y a qu’un seul cas qui échappe à la règle de l’article ( 1 85 ) pour in tégrer x m dx ; c’est celui ou m = — 1 , car alors la formule (4) devient
il faudrait donc , dans ce cas , faire usage de la règle de l’art. 80 , pour déterminer la vraie valeur de l’intégrale ; mais on peut éviter cet inconvénient, en observant que
x~' d.r = — ,et que cette expression — est la différen-
tielle de log x :
INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES COMPLEXES. 127 par conséquent , nous aurons
J '7= log * + C.
Des différentielles complexes dont V intégration peut s’ejfecluer par la rè Q /e de l’art . 1 85 .
101. Nous avons vu, art. 28 , que la différentielle d’un polynôme se formait de la somme des différentielles de ses termes ; réciproquement l’intégrale d’un polynôme sera égale à la somme des intégrales des termes qui le composent.
Par exemple , • .
f (ûdx—Ç+xdx \/") = J* aàx—
+ J* x* dx + C,
L ' ou , en effectuant les opérations ,
(*/ , Mx , ,\ * 3 i
J (adx — —+xixÿ r )=ax---+-x*+C.
Nous n’avons mis ici qu’une constante , parce que chaque terme donnant une constante à l’intégration , nous pouvons représenter la somme de ces constantes par une seule lettre.
102. Tout polynôme tel que (a-j-&.r-|-cx a -4- etc. )"dr, peut s’intégrer par la même règle , Idhsque n est un nombre entier positif. Pour cela , il suffit d’élever le polynôme à la puissance indiquée, et d’intégrer séparément chaque terme.
CALCUL IffTEGRAL.
Par exemple , pour intégrer (a -) - bx y dx , nous aurons
j (a + bxf d x =z j ( à 1 dx + 2 abx dx + b*x % dx)
= + abx* -j — 3- -f- C.
193. Lorsqu’on a une expression telle que (Fx)"dFx, composée de deux facteurs dont l’un est la différentielle de la partie Fx qui est sons la parenthèse , pour intégrer celte expression, on fera Fx =z, par conséquent, d Fx = dz ; substituant , on trouvera
( Fx )" dFx = z"dz ,
et en intégrant ,
/ Z n -h ' ( Fx j* 4 ’ 1
(Fx)" dFr — — + C = ( T1 f r + C.
Pour en donner un exemple , soit
( a -f- bx + ex* ) 7 (&dx-f- 2cxdx) ; comme bdx -{- 2cxdx est la différentielle de la quantité renfermée entre les parenthèses , on fera a + bx -f cx“ = z ,
et l’on aura , en différenciant ,
bdx -f- 2 ex dx = dz j
donc ' *
( a .p. bx -}- ex 3 )» (bdx -j- 2cxdx)=z» dz.
L’intégrale de cette expression sera
-z~= ^ ( a bx - f- ex 1 ) T C.
194. Si l’un des faqfcurs était la différentielle de l’autre à une constante près , l’on pourrait encore intégrer par le même procédé. Soit , par exemple ,
, ( a -j- 6x“ )* mxdx. . . . (5).
ti
IKTÉCRATIOX DES DIFFÉRENTIELLES COMPLEXES. I 2g
Comme je vois que la différcntiélle de a -(- bx * , cjéd est xbxdx , ne diffère de mxdx que par la constante , je fais a -f- bx* = z , et par conséquent ibxix — dz ,
• . ds
d’où je tire xix = — : substituant ces valeurs dans l’ex*a b
pression (5) , j’obtiendrai
( a -j- bx* )* wxdr == — z3dz ,
et, en intégrant, il viendra
(a bx*) a mxdx ss — z» ■+■ C= bx * )T C.
Zb Sb
a , eu faisant a bx
dz
