La même transformation peut s’appliquer aussi
pour rapporter certaines différentielles à des logarithmes:
... aà*
si 1 on avait , par exemple , —
= z , j’en déduirais dx = substituant , j’aurais
J = J ïl=ij 7 = ï h Z z+ C ’
et , en mettant pour z sa valeur ,
lo S ( + ** ) + c.
En opérant de même pour on trouvera que l’in-
tégrale de cette expression est
f T^Tx~~ | log C « — bx) + C.
Des différentielles qui s’ intègrent par arcs de cercle .
• ig6. Soit , fig. 5 o, x= CE , le sinus dont Parc CB est z ; nous avons x == sin z; différenciant , il viendra
dr
f ]r — cos zdz , d’où nous tirerons dz = — — - : d’une autre part , l’équation eos’z + sin a z =. I nous donne
cos z = \A — sin a z == i — x* ;
substituant cette valeur dans celle de dz, on obtiendra
dz
djc
par conséquent, en intégrant,
Pour déterminer la constante, supposons donc que lorsque o, on ait
comme, d’après la fig. 5 o, l’arc z représenté par CB est nul , en même temps que le sinus x, l’equation (6) se réduira donc dans cette hypothèse à o = Cj par conséquent
f = *rc (sin = x).
197. On peut, de l’intégrale précédente, faire dépendre celle de -
dx
INTÉGRATION PAIl AHCS DB CERCLE. 1 3 1
en effet, en divisant les deux termes de la fraction par a, on aura
• , . . , x r Ax
cette intégrale étant composée en - > comme J çp-x==
l’est en x , il en résulte que
fv^- = " c ("“=:>
198. En second lieu , soit z l’arc CD , fig. 5 o, dont le cosinus AG est x , nous aurons • x — cos 2 ,
et en différenciant , ->
dx = — dz sin z ,
d’où l’on tirera
dz
•ius ’
et , en mettant pour sin z sa valeur tirée de l’équation
on obtiendra
cos 2 z -f-, sin* z — i ,
1 — cos* r 5
«* ou , parce que cos z = x ,
~dz = — -
et èn intégrant , on aura
/^ =ûre( cos = , )+ C,
OU
* /-T= = arc-Z>C+C .....( 7
Pour déterminer la constante , supposons que lorsque x __ o ^ J' ^ ,U -— s®* 1 nul > l’équation (7) se réduit
dans ce cas , à . j
o = arc ( cos = 0} -+- C. .. . . (8j; or , pour que le cosinus A. G de lare UC soit nul , H faut que cet arc devienne
DB = j cire. = \ ir ;
mettant donc \ r. , au lieu de arc ( cos — o ) dans 1 équation (8) , on a
o = î tt + C,
ce qui nous donne
substituant cette valeur dans l’équation (7) , on obtient dr ~z — (\K-*-arcDC) = — arc CM.
iqq. Nous avons vu, art. 4 5 , que
dx
d.tangx= z ^r;;
si nous faisons x = tang s , noift trouverons
IÎZ
dx :
d’où nous tirerons
ds = dx X c°s‘ s i
or , la proportion r
cos s : 1 : : l‘ î sécante z ,
donnant
cos Z = * 3
on aura
wc‘ A 1 •+■ laug’ * j +** ’
INTÉGRATION PAR4»lRCS DE CERCLE.
substituant cette valeur, nous trouverons
dz = dr
et en intégrant , on aura
prenant l’intégrale dans l’hypothèse que cette intégrale s’évanouisse lorsque x = o , z dévient nul , et l’on a o = C,
donc
J' arc dontlatang. est x.
