On peut rapporter à cette formule , celle-ci

en divisant par a a les deux teririfes de la fraction, on pourra l’écrire ainsi

/ dx ~ /l Ar

et comme cette intégrale est composée en - , comme

■ r di „ .

-/ vt - I est en .r, nous aurons

a J l-bx »

Soit encore .rie sinus vcrseDG.Lecosinusetlc sinus verse •valant ensemble l’upité, nous aurons r -f- cos z — i , et en différenciant,

dr = dz sin z ,

CALCtÿ INTEGRAL.

ds=-£-.

d’où l'on lire or,

sin z = \/ \ — cos“ z = ( i — cos z ) ( i -|- cos s )"

substituant on a

, dx ,

cl Z — ■ — ,

et en intégrant

» dx

77=== = arc ( sinus verse = x ).

Nous n’ajoutons point de constante, parce qu’en supposant que l’integrale s’évanouisse quand x est nul , z est v aussi nul. ,

aoi. Lorsqu’on veut avoir la valeur.de l’intégrale pour une valeur déterminée de x , on opère comme dans l’exemple suivant.

t dx ^ ^

Supposons qu’on demande l’intégrale de — , lorsque

x = 7 : le rayon étant i , la tangente sera donc 7 ; et comme les tables des sinus sont construites avec un rayon de 10 milliards de parties , la tangente relative à ce rayon sera 10 milliards de fois plus grande : par conséquent celte tangente vaudra 7X10 milliards. •

Le logarithme de îa tangente tabulaire aura donc pour expression ,

log 10 milliards -4- jog 7 =10 -j- fog 7 ,

Cherchant ce logarithme dans les tables des sinus , on

verra qu’il répond à un arc de

; go’ 4 ’; 96, division décimale ,

INTEGRATION PAR PARTIES.

i de

8l° , 52 , division sexagésimale.

Pour trouver la valeur numérique de cet arc , dans 1 hypothèse du rayoacr i , nous remarquerons que dans cette hypothèse la circonférence = 6,283 ; par conséquent nous aurons

4 00 ° : go®, 96' : : 6,283 : arc cherché , = 1.42 ou

36o° : 81 0 y S2 :: 6,283 : arc cherché , = 1,42.

De l’intégration par parties.

202. En prenant la différentielle d’untproduit de deux variables , par le procédé indiqué art. 14, on trouve

d fv = udv 4. vdu ; intégrant et transposant , il vient

J ’ udv = uv — J* vdu.

C’est à cette formule que lira rapporte les différentielles que l’on veut intégrer par parties. *

2o3. Par exemple , si l’on ignorait quelle est* l’intégrale de x#x , on ferait x m = u , dx = dv; et l’on aurait

f x m dx=x m +'— J' x.rnx m ~'dx=x m + '—m J ' x m dx-,

réunissant les termes affectés de x m dx , on a eJIransposant

( m -f 1 ) Ç x m dx == x m "*■ 1 ,

donc

x m dx = — — — 4- C.

l36 CALCUL INTLGRAL.