INTÉGRATION PAR LES SÉRIES
ajoutant cette équation à l’équation 8), nous trouverons : J * dr l/ a’ — jr» 33i\Za’-i’ -j- a* arc ^tm=-
donc
une
dxj/ m 7 — x»— - l/ a' — .r* + - u* arc ^.îtVï =- ^ -f- C.
On voit par ces exemples que lorsqu’en général on a expression telle que J'^u , l’intégration par parties
fait dépendre cette intégrale de celle J' «de, et que par
conséquent cette méthode d’intégration n’est pas toujours applicable.
De l'intégration par les* séries.
?.o6. Soit Adx une différentielle dans laquelle A' représente une fonctionde x, si l’on développe X en une suite ,
Ax'^Bx -f- Car -f" D* + &X -f* etc.
ordonnée par rapport aux exposans a, *>, y, etc. , on aura
J'xiv— J' (ax* -f Bx e + Cx*+ Dx S + ExVetc.) d r
Ax m
Br*' C?" Dr*' Ex*"
- etc. -+• C.
Ax
207. Prenons pour exemple .qui est la différentielle de log (a -f- x ): on écrira ainsi cqtte fraction — — xtlr.
* Si l’nn «les exposans », Z , y, etc., était égal .H — { , on intégrerait par logarithmes le terme qni en serait affecté.
et il s’agira d’abord de trouver le développement de »
ce que l’on fera au moyen de la division j mais sans effectuer cette operation , on peut déduire le développement cherché d’une formule facile à retenir: c’est celle-ci,
77^ = i -f z-f-z* -f-z 3 -f z*, etc. . .* ! (9) *.
En effet, on peut écrire la fraction — ? — de cette manière
alors , pour obtenir le développement de
il suffira de changer» en — - dans la formule (9), et l’on
aura
= 1 >— - + -* — —y 4- etc. ;
donc
par conséquent ,
f -J- = f (-— - + 5 — t + etc ) 4c»
* Cette formule ayant rfte trouvée par la division , ou pourrait croire qu’il Vaudrait mieux diviser de suite « par a x j mais j observe que lorsque la formule proposée est gravée dans la mémoire , il est moin$ long d’en déduire divers dévcloppemcns que de recommencer chaque fois le calcul.
INTÉGRATION PAR LES SÉRIES. 1 3g
■ et, en intégrant chaque tenue en particulier , on obtiendra
dx
= " — — ctc - + € > ( 10 ) 5
*t , en observant que le premier membre de cette équation est une différentielle logarithmique , art. i g5 , on aura
log (a + x ) = ? — + ^5 — etc - + C. . . .(.1 1).
Pour déterminer la constante , nous remarquerons que lorsque x — o , cette équation se réduit à log a = o -f- C -, substituant cette valeur de C, l’équation (i i) deviendra
log(a + x)=log a + ^ — -~r + etc.(i«)*
