Prenons encore pour exemple

jr = ( x* — 2 a* ) ( x* — 3 a*); développant on a

substituant x -f- A à x et jr'ky, et ordonnant ensuite par rapport à h , il vient

=4x 3 — ioa*Æ 4-(6x* — 5 a*) A -f^xA’-f-A*:

passant à la limite on a

35=4^— toa»x;

eten multipliant par dx, on trouve que la différentielle est d y ■=. (4 x 3 — ïo a*a :) dx.

lo. L’expression dx est elle - même la différentielle de x; car soit^'=x,ona > 7'=:x-f-A;doncjr' — = A, et passant à la limite après avoir divisé par A , on trouve

1 ;donc dy=dx.

On trouverait de même que la différentielle de ax , ■ est adx.

H. H est à observer que quelquefois l’accroissement de la variable est négatif , dans ce cas il suffit de substituer x — A à x et d’opérer comme précédemment.

Ainsi pour trouver la différentielle de ax 3 lorsque l’accroissement est négatif, on remplacera x par x — A et l’on aura

y — ax 3 — 3 ax*h -f- îaxh* — cA’ ;

donc

= — 3 ax * y 3 axh — ah % i

fl

dy* ,

passant à la limite on aura — 3 ca; 3 , et par consé-

quent dy = — 3ax a dx.

On voit que cela revient à supposer dx négatif dans la différentielle de y calculée dans l’hypothèse d’un accroissement positif.

12 . Avant que d’aller plus loin , faisons une remarque essentielle , c’est que dans une équation dont le second membre est une fonction de x , et que pour cette raison nous représenterons généralement pary'==/x,si l’on change x en x -f- h et qu’après avoir ordonné pr rapport aüx puissances de h on trouve le développement suivant

y—A+ Bh+ Ch .» y Dh 3 y etc. , on doit toujours avoir j"= A . En effet, si l’on fàit h~o , le second Membre se réduit h A;à l’égard du premier membre , comme nous n’avons accentué j que pour marquer que y éprouvait un certain changement lorsque x devenait x y h , il faudra lorsque h sera nul que nous supprimions l’accentde y, et l’équation ( 2 ) se réduira alors» j~A.

1 3. Ceci va nous donner les moyens de généraliser le procédé de la différentiation. En effet , si dans l’équation y =fx , dans laquelle on est censé connaître l’expression représentée par fx, on a mis x y h à la place de x , et qu’après avoir ordonné par rapport aux puissances de h on ait obtenu le développement suivant

y = A+Bk + CA 1 + DP,

ou plutôt, d’après l’article précédent , .

y —j y ph -j- cp y , etc. ,

DIFFÉRENTIATION DES QUANTITÉS AI.GÉBRIQDES. y

Oiïaura, en retranchant l’équation primitive de celle-ci : y — y — fifi + Ch? + , etc. j donc /

= fi + Ch + etc. j

et en passant à la limite = fi. Ce qui nous apprend que

le coefficient différentiel est égal au coefficient du terme qui contient la première puissance de h dans le développement de f { x + h ) ordonné par rapport aux puissances ascendantes de fi. s

14. Si au lieu d’une fonction qui s’accroît en vertu d’un accroissement donné à la variable x , nous avons deux fonctions différentes que nous représenterons par jr et par z, en substituant dans ces fonctions x -J- fi à x, elles deviendront jr et z j ordonnant ensuite par rapport à fi , nous pourrons supposer

J —y + Ah-\-Bh % -fête. . . . (5) , z — z -f- Ah-\-Bh?-\- etc. . . . (6);

passant à la limite on trouve

dy

multipliant ensuite les équations (5) et (6) l’une par l’autre, nous obtiendrons

zj == zjr -J- Azh -f- fiz.fi* -f- , etc.

-j- Ajh -\-AAh? -j-, etc.

-f- fi/fi* -)- , etc.

donc

* r h zr z=Az-\-Ajr-\-(Bz-\-AA-\-ÏÏy)h-\- etc.}

passant à la limite

à.zy

dx

~Az+Ay, •

mettant au lieu de A et de À leurs valeurs données par les équations (7) , il nous viendra

dT = df + dT’

et en supprimant le diviseur commun dx ,

A.zy — zAy+yAz ,

Ainsi pour trouver la différentielle d'un produit de deux variables , il faut multiplier chacune par la différentielle de l'autre , et ajouter les produits.

i 5 . Au moyen de cette règle on trouvera facilement Ja différentielle d’un produit de trois variables. ,

Soit, par exemple , yzu : faisons,?'? = t , nous aurons donc A. yzu = A. lu.

Or , d’après ce qui précède ,

d du = idu -f- udt. ... (8) et puisque t = yz , on a d/ 3 ydz -f- ?dy; mettaut donc ces valeurs de t et de dt dans l'équation (8), elle se changera en A. yzu z=yzAu -(- uj'dz -}- uzAy.

On voit que la même règle subsiste encore pour un produit de trois variables , c’est-à-dire , qu’il faut écrire le produit yzu , et remplacer successivement charpie variable par sa différentielle , et ajouter ces produits.

xCi. La même règle a lieu pour un plus grand nombre de variables. ■

17. Nous avons vu art. 10, que la différentielle de ax était nd.r ; concluons que lorsqu’il y a une constante dans un produit , il suffit de différencier comme si la constante n’y était pas, et de multiplier ensuite par la constaute.

Par exemple, on trouverait que la différentielle de axy est arAy -j- ayAx.

1 8. • La différentielle d’une constante est o ; car soit y = ax -f- b , en opérant comme dans l’art. 7, on trouva