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DIFTÉRENTIATION DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. 9 ày — aôx , résultat qui est le même que si l’on n’ayait point eu la constante b.
iq. La différentielle d’une fraction - est ; car
supposons^- = z, nous avons x =yz; donc, art 14 , dx
—ydz -f- zdjr ; d’où nous tirons J'dz=dr — zd y. mettant dans le second membre la valeur de z , il vient ydz = dx
— ^ dj' • réduisant au même dénominateur ,
1 rdx — xdr
\Tl I f - .«J . -J
et enfin
dz=Æ=fi: ou d. -
20 . Si dans l'équation d.yzu =yzdu -\-yudz -f-zi/d ?" , art. i5 , on divise tous les termes par jrzu , on obtiendra
d.yzu du dz . dy ,
yzu u ‘ z "* r ’
En général , en divisant la différentielle d’un produit d’un nombre quelconque de variables par ce produit , on trouvera
d.jryztu , etc.
djr . dy , di . dl , du . , .
r -4- - — 4- — 4* — -4- — , etc. . ■ • (û\
xyztu , etc, * 1 y * z 1 t 1 u •*'
Si x, y , z,t, u, etc. , sont égaux à x et en nombres/, on aura dans le second membre de cette équation un
nombre m de termes égaux à ~ ; ce second membre se
changera donc en et l’équation (g) deviendra
et en multipliant par x" , on aura ,
d.x m — mx m dx.
2 i. D’où l’on peut conclure cette règle : lorsqu’une variable est élevée à une puissance m , pour avoir la différentielle , il faut, t°. changer l’exposant en coefficient -,
CALCUL DIFFERENTIEL.
2°. affecter la variable dun exposant moindre dune unité ; 3 ° . multiplier ensuite ce produit par dx.
22. Si l’exposant était fractionnaire ou négatif, la même règle aurait lieu. Pour démontrer ce premier cas , Z
soit y = xi) en élevant les deux membres à la puissance q , on aura jP> = x? ) donc , art. ai , d y
= pxP~ l dx ; d’où l’on tire
ôjr:
: eîl ldLr;
<tf-' ’
et comme xP~' peut se mettre sous la forme — , et que de même jP>~ 1 — y, en mettant ces valeurs, on a
dr= e ~
J q jpl x ’
et à cause de x? l’équation précédente se réduit à d?-=:--dx:
mettant enfin pourj- sa valeur, on obtient
ùy =- — dx,
et en faisant passer le diviseur x en exposant , on a àjr = 2 x 1 ■ dx ,
ce qui est la même chose que la différentielle de jr = x F qu’on aurait obtenue en faisant usage de la règle du n°. 21 . Pour démontrer le cas où l’exposant est négatif , soit
y=.x~v, ce qui revient kjr=~,) différenciantparlarègle des fractions, art. 21 , nous aurons
xP Ai — 1 . ixP xP x xP
DIFFÉRENTIATION DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. II Observant que 1’unitë étant une constante , sa différentielle est bulle , cette expression se réduit à . . . . dy
cl xP
~ — ; effectuant la différentiation indiquée, art. 1 1 ,
on aurady = — > et. en fetranchant l’exposant 2 p de l’exposant p — i , il vient enfin Ay — — px~f~' dx , comme on l’aurait trouvé en faisant usage de la règle du n°. 21.
23. Si l’on remplace les radicaux par des exposans fractionnaires, la règle du n®. 21 pourra donc servir à différencier ce s sortes de quantités. Par exemple, pour trouver
la différentielle de \/x , on écrira z 3 dont la différentielle sera t ï — * Az = — —r , ce qui nous apprend que
pour avoir la différentielle de la racine carrée d’une quantité variable , il faut diviser la différentielle de celle quantité par le double du radical.
24. Quelquefois la fonction y et la variable x ne sont pas données par une même équation. Par exemple , si l’on avait les équations y = fu et u = çx , le premier moyen qui se présenterait pour obtenir le
coefficient différentiel serait d’éliminer u entre ces deux ax
équations , pour pouvoir y appliquer le procédé de la différentiation j mais sans avoir recours à cette opération préliminaire , on peut obteni? immédiatement le coefficient différentiel ~ : c’est ce qui va être l’objflt de la démonstration suivante. *
Supposons donc que dans l’équation u = yx , on mette x -f- h à la place de x et qu’alors u devienne u = u k, et qu’en substituant ensuite « -j- k à la place de u dans
CALCUL DimÉnENTIEL.
l’équation y ~fu , la fonction y devienne^' , si l’on développe ces fonctions de u et de x par rapport aux puissances de leurs accroissemens , la substitution de a: + h à la place de x dans la /onction u , nous donnera u — u -j-'qh + q’h 1 -f- q"h 3 -j- etc. ;
Et la substitution de u-\-k à la place de u dans la fonction^ , nous donnera
y==r+pk+pk"*+pk' 3 + «te- )
donc
" h “ ~q-\~ qh -|- qh* -f- etc.
^~~î^ ~p ~i~pk + p"k* + etc.
Multipliant ces équations terme à terme , on aura
— (p 4 p'*+p"** + etc.) (q+qh +q'h % + etc.)
Le premier membre de cette équation peut se réduire j car l’accroissement de u étant'représenté par k, est
donc égal kit — u- } par conséquent au lieu de ■ ~~j~
nous pouvons écrire , et en mettant x' — x à la
place de x , l’équation précédente devient
+ ?'* + q' h% + e tc-) (p+pk+p"k* -f etc.) . .( 1 1)
Lorsque h est nul , k s’évanouit aussi ( puisque u n’a pris, l’accroissement k que parce que x est devenu x +*>i par conséquent dans le ca^ou h = o, qui est celui de la limite , l’équation ( 1 i ) se change en
Pour déterminer p et q , il faut supposer h et k nuis dans les équations ro , et ces équations donnent
àr du
~4tt d*
blFFÉRENTJATlON DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. l3
Substituant ces valeurs <le p et de q dans l’équation ( 12), on obtiendra
Ce résultat nous apprend que si l’on a deux équations y=fu et u = yx , et qu’on en tire les valeurs des coeffi-
ciens différentiels et , il suffira de multiplier ces
valeurs entre elles pour avoir celle de
25 . Si J’on a, par exemple , les équations y = 3 u* etu = x? -f- ax % j ou trouvera
* &= 6 u ’È = 3x2 + 2ax >
donc en multipliant ces équations terme à terme on obtiendra
= 6« ( 3x*-|-2 ax) = ô^-f-aar 1 ) f 3 x“ -f- lax ).
26. La formule ( i 3 ) est d’un grand usage pour différencier des quantités compliquées ) donnons-en quelques exemples.
1°. Cherchons la différentielle de y =2 \/ a ' — *') cela
se réduit à trouver le coefficient différentiel . Pour
cet effet , faisons a* — x* — u, alors y = \/ u = u» ; et les équations yx=fu et u — yx , art. 24 , sont donc re-
présentées ici par/ = uT et par ux=za % - f-x*.
En différenciant ce* e'quations, art . 2 1 , on trouve d Y .
multipliant ces coefficiens différentiels entre eux, on obtient
donc
CALCUL différentiel.
àj=
{/a 9 - 4-or*
Soit encore jr = ( a -|- bx m y • pour trouver la différentielle , faisons ( a ~f~ bx m ) = u , nous aurons les équar tions y z= u", u = a + &r m , donc
j~ = n"" - * = n ( a + bx m ) = bmx’ n ~ l •
multipliant entre eux ces coefficiens différentiels , on obtiendra
= bmnx m ~ ' ( a -f- bx m )■ — *.
