INTÉGRATIO» PAR LES SERIES
et en intégrant , on trouvera àx
fv
- W x — • — — — — • — . — " — •— CtC«
d'une autre part ,
/ dx dx
j/ar» — 1 y 4/x’ — I
donc
Pour déterrniner la constante on ne fera pas 1 = to , puisqu’aiog x deviendrait =0 ; d’une autre part-, on n’e'galera pas x à zéro ,
car les termes log x , — • — etc. , deviendraient infinis: mais s» D a nx* ’
Ton suppose x = i , ]'equalion ( 17 ) deviendra
xi i3i 1 3 5
ce qui donne %
9 ' 4’!“và ' 4 6 ' 6 etc - + ^ = ®>
+ etc.
212. La formule (16) peut servir à trouver une valeur approchée de la circonférence j car en faisant x— ^ , elle se réduit à .
+ h etc. :
or , le sinus qui a pour expression - , étant égal à la moitié
du côté de l’hexagone régulier, comme ce sinus répond à la douzième partie de la circouférence , nous aurons donc
circonf. i i I I
ia a a 3 a 1
et par conséquent
/i iii i3ti t 3 5 i i N
circonf. ss ia ( - -t- -—-t- -f ) -A- clc.;
* va a 3 a 5 a(5 a 1 a 4 6 7 Jv
si l’on prend les /o premiers termes de la suite
i , i i i - + ' • 3 • + elc ' »
on trouvera
donc
’ circonférences 6 '0,52359877 ) = 3,14159262 ,
valeur dans laquelle l’erreur 11e porte que sur le dernier chiffre décimal.
2 « 3 . Nous avons trouvé , art. 207 , logC-n + x) =loga +5 — — + ^ — etc.
Cette série étant peu convergente , faisons x = — x ,
nous aurons
log (fl— x) = loga — 5 — ^ — ^etc. }
retranchant cette équation de la précédente , cela nous donnera , . .
log(n-fx)— log(a— x)±= 2 (^ + £7 + ^ + etc.)
ou
Intégration par les séries. 14?
a 14. Pour déterminer , pfr exemple , par cette formule , le logarithme de 2 , on supposera
et par conséquent
donc
substituant , on aura
l0S2 = 2^; + ;.- f- p 4- etc - Y
En se bornant aux dix premiers termes de cette série, réduite en décimales , on déterminera la valeur du logarithme de 2 j triplant ce logarithme , on aura celui de 2 3 ou de & Si d’une autre part on calcule par la
formule (18) , le logarithme de et qu’on ajoute ce logarithme à celui de 8, on aura le logarithme de ~ X 8 =
log 10. On voit que par des procédés analogues la formule (18) donnerait tout autre logarithme j mais il est â observer que ces logarithmes sont des logarithmes népériens. Pour en déduire les logarithmes tabulaires , si nous représentons par La le logarithme tabulaire d’un nombre
a , nous aurons a — io*'°j prenant les logarithmes népériens , cette équation nous donnera
log a — log io 1 ‘ a = La log 10 j et par conséquent
La:
>og a
log 10 '
to
t/ t G CALCUL INTÉGRAL.
c’est-à-dire , qu’un logarithîne tabulaire il’un nombre est égal au logarithme népérien de ce nombre , divisé par le
logarithme népérien de 10.
ai 5 . On a trouvé une série encore plus convergente que celle qui nous est donnée par la formule ( 1 8) pour déterminer un logarithme. Voici tic quelle manière on peut In déduire de celte formule t en divisant a -+■ x par a — ■ jr , on trouve
a -t- -r ^ ar
représentons par la fraction — , on a l’équation
ut , en mnilipliam par a — x > il -vient
av vx
a +x=za — x + — — — ;
ions les x étant transposés dans le premier membre , on obtient
vx au
multipliant para , on trouve
2ZX + VX = av y
et par conséquent,
a az -*• u'
a-*- x . x et de - i
substituant les valeurs de et de - dans la formule (18) , on
a ce résultat
) = 2 (db + STaTbjT + sb^^ 610 ') »
«t enfin ,
log ( * + O ) = log S + 2 (bb + 3(i b)ï
5 (ai -t- v J
ï 4 - etc.^-
