Il résulte de ce qui précède que quelle que soit la

Diqiti;

MÈTITODE DES FRACTIONS RATIONNELLES. »4q

fraction rationnelle que l’on considère , son intégration peut toujours être ramenée, dans le cas le plus général , à celle de

Par»— -+- Qx n ~’ -t- Bx -l- S ,

P'x" ■+■ ÇKr'— , ...... ûx -

En regardant le dénominateur de cette fraction comme le produit d’un nombre n de facteurs , tels que x — a , x — b , x — c, etc. ; ces facteurs peuvent être réels ou imaginaires , égaux ou inégaux.

Pour commencer par le cas le plus simple , nous les supposerons réels et inégaux , et # alors nous opérerons comme dans les exemples suivans.

2 1 8. Proposons-nous d’abord d’intégrer^——; : décoimposan t le dénominateur en ses facteurs , on écrira

âdx adx

* et l’on supposera

(x—a) (x + a) y rirr + 7TTj Ar f*9)-

A et B sont deux constantes qu’il s’agifr de déterminer. Pour cet effet , réduisant le second membre au mfcnc dénominateur, oa obtiendra

xdx ( sfx -+- Aa + Bx—Ba ) dx

Supprimant le diviseur commun (x — à

facteur dx il restera

a = Ax -f- Aa -f - Bx — Ba. . .

)(x -f- a ) > et le , • ( 20 ) ,

et , en ordonnant par rapport à x, on aura

( A -f- B ! x + ( A — B-— i js=a.

1 5o CAtCOT. INTÉGRAL.

x ayant une valeur indéterminée , ainsi que le suppose * la différentielle proposée, cette équation a lieu , quel que soi t x ; par cgnséquen t, d’après la méthode des coefliciens indéterminés , on égalera séparément à xéro les coefliciens des différentes puissances de xj ou , ce qui revient au même , on égalera entr’eux les termes qui dans l’équation (20) contiennent les mêmes puissances de x, et l’on aura = ' o, ( A — B — 1 ) a — o j ces équations donnent

A = -, Bç=- l.

En substituant ces valeurs dans l’équation (19) , on aura donc

aàr !- ,1^ 1 i dx

/ adx

et en intégrant, on trouvera

f = i log ( — a) — | log (x + a) -f C,

et par conséquent, , .

C adx , . x — a , /x — «\ï

J x 3 — a* ~ * °S x-t-n — °5 ( x -4- a ) + C. Pour Second exemple, prenons la fraction a -r~~î <kr ;

les facWurs du dénominateur sont x et« a — x*, etcomme a* — x* se décompose en (a — x ) X ( « + x ), les facteurs simples du dénominateur sontx, a — x, et fl xj donc l’expression à intégrer est bx 3

dx :

r Eu effet , la caractéristique d , qui précédé x , annonce que x est considère' entame variable.