MÉTIIODE DES FRACTIONS RATIONNELLES

je fais

. a 3 4- b x ' yf B , C ^

x (a — x) { a 4- jr) x *1 ( « — x ) ‘ a 4- X V“'J>

réduisant ccs fractions au même dénominateur, il vient

a* -f- bx' Aa' — Ax' -t* Bax 4- j9x’4- Cax — Cx'

x£a — x) ( a 4- xjs! x (a — ») (j + i) 7

égalant entr’eux lescoefficiens desmêmes puissances de x, on aura

B — l A — C—b, Ba Caxxo x 4 a*=za?.

La dernière de ces équations nous donne A— a , ce qui réduit la première à B — C — a -f- b.

Cette équation étant .combinée avec la seconde , on obtient . ,

3 3 ' * mettant les valeurs de A , de B et de C, dans l’équation (21), on trouve

a 3 4- bx' , adx , 11 + J . a + 1 ,

, dx — fr — ; r Ax ; : tlX J

donc, en intégrant,

f a'x -À dx = a log x — log ( a — x ) *

» — — ■ -- ■ >og ( a -f- x) -f C

* Pour prendre i’inteerale de — a *** ■ ^ — a (a — x)

lielle de a — x est — dx , il faut derire

(« ■+• b) dx

dx , comme la difleren-

ct l’on voit que l’intcgrale sera — S a ' h Jog ( a — x ) 4- C.

r= a log x • =- a log x -

- [ 1 °g ( a — x ) + 1 og ( a -f x ) ] + C,

log ( a — X) ( a + x ) -f C ,

= a log x — ( « -f- b ) log ^/ a > — a* -|- C. 219. Pour troisième exemple, soit -r~ — ^

dx.

Comme il s’agit d’abord de décomposer le dénomina-. teur en facteurs du premier degré, nous remarquerons que si l’on a une équation de même forme, et représentée par z * — 6z -f- 8 = o , et qui soit satisfaite par les valeurs z = 2 et z = 4 > on sera en droit de conclure qu’elte équivaut au produit (z — 2) (z — 4) == °-^ r i en effectuant la multiplication, on voit que quelque valeur que l’on àttribueâz, le produit sera toujours z* — 6z-J-8; donc , lorsqu’au lieu de z nous mettrons x , nous aurons encore (x — 2) (x — 4 ) == x< “ — 6x+ 8.

Par conséquent , quelle que soit la valeur du polynôme x* — 6x + 8 , il peut se décomposer en facteurs comme s’il était égal à zéro.

Ayant donc trouvé que les racines de l’équation x" — 6 x -J- 8 = o , sont 2 et 4 , nous écrirons ■* ^

3 x — 5 , j 4 < 1 x , Bdx

s dx = 1

et en supprimant le facteur commun dx , ce que nous aurons toujours le soin de faire à l’avenir , nous trouve-i rons, après avoir réduit au même dénominateur , *

3 x — 5 j 4 t — 4 /f ■+■ Bx — il)

x' — (ix-+- 8

x’ — Gx -k- 8

MÉTHODE DES EBACTIONS RATIONNELLES. l53 égalant eatr’eux les coelficiensdes mêmes puissances de x, on obtiendra ces çqnations de condition ,

— 5= — \A — iD, Z=A-\-B,

d’où nous tirerons

mettant ces valeurs dans l’équation ( 22 ), on trouvera

/ 3*~ — 5 I r Hr ,7 r dr

= ^ Iog(x — 4) — ^log(x — 2 ) 4- C * 20 . Prenons encore pour exemple

ardjc

égalant le dénominateur à zéro et résolvant l’équation , on trouve *

jr“+4 ax — b*=z(x+?.a-)- \/ fa’-t-b’) (x+2 a — \/^a'-<rb'}- Pour simplifier , représentons ce dernier produit par

nous supposerons donc

x ' rf 4ax — b* x -+■ K * x *+• L *

réduisant le second membre au meme dénominateur , pous trouverons

x Ax -4- AI-»r Bx 4- UK

x* -f- 4 ax — x 1 -f- 4 ax — 9

CALCUL IPiTÉGBAL.

l54 CALCUL IN'TÉGBAL.

d’où l’on tire

jiL -f" B K — o , A B — i , par conséquent

Az=

r<lr ZZfr = K—L log + K )~j ïZx Io B ' x ' t ' L )+ c -

i\ax