etc

En réduisant au même dénominateur le second membre 4e cette équation , chaque terme du numérateur de l’une des fractions devra être multiplié par le produit des dénominateurs des autres , c’est-à-dire , par un polynôme en x de l’ordre m — i ; donc le second membre de cette équation sera un polynôme composé de m termes.

MÉTHODE DES FRACTIONS RATIONNELLES. »55 Il en résulte que si on égale cntr’èux les coelliciens des mêmes puissances de x , on aura m équations de condition pour déterminer les coefliciens A, B , C, etc. Ces

coefliciens étant connus , on n’aura plus qu’à intégrer une suite de termes tels qne

Ai Ix

Ht\r

etc. ;

l’intégrale cherchée sera donc

A log ( x — a) -f- filog( x — b ) -f- etc. -f- C.

222. La méthode qug nous avons suivie lorsque les racines du dénominateur sont inégales, ne peut servir si parmi ces racines , que nous supposerons toujours réelles, il y en a d’égales. En effet, nous avons vu que, daus l’hypothèse des racines inégales, on pouvait écrire

Pt* -+■ Qx' -I- Ær’ -h <5* 4- T . (ar — aj {-x — b) (x — c) (x — J) (x — e)

' x — c ' cr — d ' a — e

si plusieurs de ces racines étaient égales-, si , par exemple , on agût a — b ~ c , l’cquation précédente deviendrait

, * J Px* -H etc.

Alors, en réduisant le second membre au même dénominateur , A -f- B -f- C pouvant être considérés comme une seule constante^’, on voit que les trois - constitues Àt , DetE ne pourraient suffire pour établir les

i 56 calcul intégral. '

cinq équations 3e 'condition qu’on doit obtenir en égalant

entr’eux les coefficiens des mêmes puissances de x.

223. Pour éviter cet inconvénient , cherchons à décomposer la fraction

Px*-t- Qx 3 -h etc.

en uft autre assemblage de fractions , qui réduites au même dénominateur, puissent la reproduire.

Supposons donc

Px* - 4 - Qx 1

etc.

Cx' D . E

De cette manière, en réduisant le second membre de cette équation au mêmcdénominateur,nousauronsun polynôme en x, du 4 e - degré, qui renfermera cinq constantes arbitraires ; ce qui suffira pour établir l’identité des termes affectés, des mêmes puissances de x. Maintenant je vais ^démontrer que le terme

A -4- Bx ■+■ Çr*

peut se mettre sous la forme

A , El , C , étant des constantes indéterminées. Pour' le démontrer , j’observe qu’on ne change point la valeur de la fraction