J5j.+ Ci

si on ajoute au terme Cx* la quantité — 2 Cax -f» Ca* , et

’ ’ ‘ ' fl

MÉTHODE DES FRACTIONS RATIONNELLES. l5j

si on retranche en même temps cette même quantité des autres termes : en opérant ainsi on trouvera

A •+• Bx ■+■ Ci’ A +■ i Sx ■+■ 1 Car — Ca .* -h C (x — a )*

et si, pour simplifier, nous représentons^— Ca 3 par A.' et B -f- iCa par E> , l’équation précédente deviendra

A ■+• Bx Cx* A' -+- B'x -+■ C( x — a)’

(x — a) 3 ( x — aÿ * 3

ajoutant D'à — B' a, dans le numérateur, on aura

A ■+■ Bx -t- Cx* A' h4|b -i- B' ( x — a)-*-C(x — a)*

et en faisant A - Ha=z jf , on obtiendra

A -h Bx -i- Cx* A" ■+• B' ( x — a) -+■ C( x — a )* *

et , en supprimant les facteurs communs , on aura enfin

A ■¥ B x -¥ Cx 3 __ A 1 ' B' C

résultat de la forme prescrite , puisque A* , B' , C sont des constantes.

Cette démonstration pouvant s’appliquer à une équation d’un degré plus élevé , concluons qu’en général , on peut supposer .

Px m — 1 H- fo”— *■ ... -4* Bx j- S (x — a)“

l58 CALCUL INTEGRAL.

11 résulte de ce qui précède *que pour intégrer l’expression Px* 4- etc.

on supposera

Px* -f- etc.

réduisant ensuite lÿs fractions au même dénominateur , on déterminera'Ies constantes A , A'-.-A”, D, E, etc. , par le procédé que nous avons déjà einj^wé , et l’on aura ensuite à trouver les intégrales des expressions suivantes :

-=—Ax, — -,dx, dx, — — dx, — ^-jdx.

Les trois premières s’intégrent par logarithmes j à l’égard des deux autres, comme dxestla différentielle de l’expression x — a, renfermée entre les parenthèses , nous supposerons , art. i g3 , x — 4 ms z , et nous aurons

f A " dx /’x/'ds r • xf" x/"

J {x^âj'— J ~v =J ^~ 3dl =- a -?=-^-ÿ •’ 1 •

donc enfin

Px< -t- ()r ! + etc.

(* — a)' (x-w-djix r— e)

dx

xT'

jr — <z a ( x — ) a

-j- xîf 1 log ( # — a ) -f- D Jog ( a: — r d) -f* £ log ( x — e) -fs constante.

MÉTHODE, DES ERÀCTICnS» R ATIOV'JÎEIXES.