Pour troisième exemple soit
supposons
donc
jr = (a + y'û)*. . . .(16).
Différenciant l’équation (i 5 ) nous avons
u zzz ; *
donc
l’équation (16) donne dj=z 4 («+VA) 3 d( = £ ( a -f j / w )3 — ,
et en mettant pour u sa valeur ,
dj-
DITTÉREfTnATlOîî DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. l5
multipliant ces coefficiens différentiels cntr’eux enfin
on a
On pourrait prendre encore pour exemple y —(a -f- V/T) 3 et l’on trouverait ^ ^ ^ .
y v ' dx jYj
28. On a smivent à différencier la somme de plusieurs fonctions d’une variable ; quoique d’après ce qui précède il soit évident que cette différentielle est égale à la somme des différentielles de ces fonctions, nous ne laisserons pas que de démontrer ce théorème.
Soit donc
jr=fx + F x +fx;
mettant x-f- 7 ià la place de x dans ces fonctions , on aura y—fx-j-Ah -\-Ah' -j-etc.-f-F.r-f- Bh-\- B' h * -f-etc. -j-ox-j-CA-j- A 4 -j- etc. ;
donc
y -y- {A + B+ Qh+tA' +B’+ C) h 4 -j-etc. ;
passant à la limite
< -£ c — A-^-B-^-C et ày=s=Adx~i~Bdx-\- Cdx.
Or, A, B , C étant les termes multipliés par la première puissance de h dans les développemens dcf{ x + h ), de F (x-f- h) et de <p (x + h), il en résulte que Adx -f- Bdx -f- Cdx représentent la somme des différentielles des fonctions proposées.
29. Nous terminerons ce qui précède par une observation , c’est que des exposions qui ne diffèrent que par des termes constans, ont la même différentielle.
Ainsi rn x -f- n x* -f- a % et mif ni’f a c — bd
CAtCtJL DimÉRENTIEt.
ont la même différentielle; cela est évident, puisque la différentielle de tout terme constant est égale à zéro.
Des différentielles successives .
3o. Soit y une fonction de x , nous trouverons, en la différenciant, un résultat delà forme p d x (p étant une quantité qui peut renfermer x). Si p renferme X , nous pourrons encore différencier p , et nous aurons un résultat représenté par qdx; opérant de inêm^ par rapport à q , nous trouverons un résultat de la forme r d x , ainsi de suite pdx , qdx, r d .r , etc. , sont les différentielles successives dejr. Par exemple , si y- = a x s , on’ trouvera dj = 3 a x*d x ; donc p = 3 a x 1 . Différenciant de nouveau , on a d p = 6 a x d x ; donc q — 6 ax. Différenciant encore , d q — 6 «dx; donc r— 6 a. Ici la différentiation ne peut plus avoir lieu, puisque 6 a est une constante. '
Les équations
d =p d x donnent, en divisant par dar, =p,
dq ■■
•dx
pétant obtenu par deux différentiations successives, et
en divisant chaque fois par dr, nous représenterons cette
operation par ; , cÇ nous aurons j - ~p; de morne
en différenciant de nouveau et en divisant par d x t nous
aurons -= — Ç- ; ainsi de suite.
d y est la différentielle p^tniére de y J
à*y en est la différentielle seconde;
d 3 j en est la différentielle troisième ; ainsi de suite.
THÉORÈME DE MACLAL'Rftf. I7
Théorème de Maclaurin •
3 ! . Soit une fonction de x -, ordonnons-la par rapport à x et supposons
jr = A + Bx -J- C x* + Dx 3 + Ex* + , etc. . . .(17), nous trouverons eu différenciant et en divisant par dx B + t.Gx + 3 Dx 1 + 4 Ex 3 + etc. ,
■g^ = . . . 2 C +2.3 Ùx + 3 . 4 Ex % . + etc.,
i 2.3 D + 2.3.4 Ex + etc.,
ux J ' ,
etc.
Représentons par (ÿ) ce que devient^ - quand x = o, par ce q ue devient^ quand x=o,
par (][^r ) ce q ue oie vient quand x = o ,
ainsi de suite ; les équations précédentes nous donneront
W = O = 2 c - ÊP )= 2 ■ 3 c >
d’où nous tirerons
^).s=(Ê), c+é),i)fe ,+(£) ,
substituant ces valeurs dans l’équation (1 7), elledeviendra
ï = (jr) + (g) *+£(&) + ^(Ë) xS - '•
telle est la formule de Maclaurin.
32 . Pour première application , prenons^ = — 1 ^— , nous trouverons en différenciant
, t ( <1 -t- or ) d 1 — 1 . 'd ( a -► a: ) dx
d’où nous occlurons ,
dr t
différenciant de nouveau ,tious tsouverons successivement
dx a ( a -t- x )* (a 4- x )* ’
«IV a . 3 ( a -+- x) 1 a . 3
dx 3 (a 4- x) 5 ~ ” (a -t- x )*’
Faisant donc x = o dans les valeurs de y , de , de nous trouverons
dx a
m—L (*T\ — L i APy\ *• 3
a’ \ilxy a* 1 \x a y a 3 ’ \dx*y «■* 3
substituant ces valeurs dans la formule( 1 8), nous obtiendrons — ~+ :r - 1 r— X ^-+ etc.
33. Pour seconde application , prenons y = \/ aï-^-bx, nous avons donc •
1/ ( a* 4- bx ) 3
fia £3
< ÜL— l.i.i fa 1 4- kr V» 6 3 =
dJt • c * Y ( a a 4- 4x.)‘
si nous faisons x = o , ces valeurs deviendront
, . , .4 (àr\ , b rà'r\ h & r&'r\ 4 ?? & * .
substituant dans la formule (i 8) ces valeurs de [y) , de
b 9 ar a
■jlj , etc. ^ on trouvera
l/a* + 5s: = a -f- — — ^ -f- — etc.
