Pour second exemple , cherchons l'intégrale de

x» Az

ï 1 — ax’ — a’x -ha ' 1

en égalant à zéro le dénominateur , on voit que tous les termes se détruisent dans l’hypothèse dex = a; donc l’équation x 3 — ar“ — a“x -J- a 3 , est divisible par x — a. En effectuant cette division , on trouve pour quotient x* — a 1 ; ainsi la quantité à intégrer est

x 1 dx x* dx

x’ dx

( x — a)* (i-ha)'

Nous supposerons donc

réduisant le second membre au même dénominateur , on obtient

x’ A (x -h a) -h A' (x 1 — a 1 ) -h B (r — aj*

(x — a)’(x-+-aj (x-»-a)(x — a)* >

développant et égalant entr’eux les coefficiens des mêmes puissances de x , on obtient ces équations de condition

A B = i , A — 2 Ba=o, Aa — Aa*-\- Baïzzx o.. (25).

Si on multiplie lajpremière par a * , et qu’on l’ajoute à la troisième , on aura

Aa -f- 2 Ba* = a® j

celle-ci , à son tour , étant ajoutée à la seconde des équa-

tions (25) multipliée par a , on trouve

a® = 2 Aa et A = 5 a ,

DigitiZfed Gioogle

.MÉTHODE DES FRACTIONS RATIONNELLES. l6l

mettant cette valeur dans la seconde des équations ^5), on obtient

et par conséquent la première donne

au moyen des valeurs de ces constantes l’équation (24) multipliée par dx, devient

- T ’ <1 ' r __ . *, 3 Jt d.r

(jc— a)' (x+a) »(x — a ;> ' t 4( a --a) +4ÎTT7J’

Pour intégrer , nous ferons x — a = z , et

cette expression deviendra $=^-dz, et aura pour tégrale , art i 85 ,

- = JL «

az~~

donc

+ î Io g(* + *) + constante.

226. On opérera de la même manière , si dans le dénominateur il y a plusieurs groupes de racines égales. Soit , par exemple,

adx

adx

nous poserons

2 ^ , A' B ff

(x - ( X + .)* (, »j. + JZTT + +J^T7- i*fc

J 6a CALCUL INTEGRAL. .

et , en réduisant au même dénominateur, nous trouverons

supprimant les dénominateurs et développant les numérateurs , nous trouverons ces équations de condition

2 A — Â — 2 B — li — o ,

A — A 1 + B If = a.

La première de ces équations réduit la troisième à 2 A % — 7.B = o , donc Az=B) la seconde réduit la quatrième

à iA -j- iB

ces équations , on conclut A =

~B, par conséquent la quatrième devient /?' — Â a ;

cette équation étant combinée avec la première , on trouve

Au moyen des valeurs de ces constantes , la différentielle proposée devient

i r <l.i , dx d.r , dx "J

4 a L ( X — Ty . ( x - 4 - I )* x — l “r" x -+- I J '

On intégrera les deux premières de ces expressions par les règles 4ps art. i<)3 et i85, et les autres par logarithmes , et l’on trouvera

-J-. log (x-l) -4- log [x-4- l)J -4- C.