MÉTHODE DES FRACTIONS RATIONNELLES

227. Avant que d’examiner le cas ou le dénominateur contient des racines imaginaires , faisons quelques observations sur ces sortes d# quantités : considérons d’abord l’équation t

X 2 -\-px + q = O. . . v (27) ,

et cherchons les conditions nécessaires pour que les racines de celte équation soient imaginaires: en résolvant cette équation on trouve

La première condition nécessaire pour que cette valeur de a: soit imaginaire, est que le dernier terme de l’équation (27) soit positif j car , s’il était négatif, l’expression - — q , qui est soûs le radical , changerait de signe , et le radical n’affectant alors que des quantités positives , x ne pourrait être imaginaire. Celte condition étant remplie ,

x sera imaginaire , si q surpasse \ p*. L’excès de q snr

p* étant alorsune quantité essentiellement positive,

re-

présentons-le par p*, puisqu’un carré est toujours positif : nous aurons

y~ïP* +

faisons ~ = a pour éviter les fractions, celte équation

deviendra

substituons ces valeurs de p c t de q dans la proposée , nous trouverons

X* -f- 2a X -}- a a -f- j5 a CT: O. . . . (28).

l64 CALCUL intégral.

Cette équation étant résolue donne

ses deux racines sont donc *

— a + |3 y/î et — a — P v/— "■ >

ce qui montre que ces racines sont disposées par couples , de telle sorte que l’une étant connue fait connaître l’autre en changeant le signe de la partie imaginaire.

228. En général , une équation peut avoir plusieurs couples de racines imaginaires, et chaque couple donnera lieu à un facteur du second degré de la forme

x 4 -f- I'jJC -f- a 4 -f- p a . . . , (3o).

22g. Quelquefois les racines imaginaires sont égales au signe près , c’est ce qui arrive lorsque a =s o ; alors , l’une des racines est p y/ — 1 , et l’autre — p y / — 1 , et le facteur ( 3 o) du second degré se réduit à x 4 -f- p*.

23 o. Pour donner un exemple d’une équation dont les racines sont imaginaires , je prends l’équation x 4 — G ax -{- 10a 4 = o j en la résolvant , je trouve

x — 3 a ± \/ — a‘ —3a±.a \/—~ï -, comparant cette valeur de x avec l’équation (ag) , j’ai

donc, dans le cas présent, l’équation ( 3 o) devient x 4 — 6 ax -j- 9 a 4 -^fe 4 .

a 3 i. Au reste, quand on a une équation telle que . ' ■ * x 4 -f 4 x + 12 = 0,