Prenons pour exemple la fraction J^rle
dénominateur ayant x — 1 pour facteur , nous trouverons l’autre facteur par la division , et la fraction proposée pourra se mettre sous la forme
** + * + I étant le produit de deux facteurs imaginaires , ainsi qu’on peut le reconnaître en résolvant l’équation *+x + 1=0, nous écrirons
( n~\~ hx ) A . A/x -4- 2V
réduisant au même dénominateur et opérant comme nous l’avons indiqué , nous trouverons
J a + b l/ («+*) AT h ~ a “.
. A — 3 ’ lU 3 ’ iV — 3 7
nous décomposerons ensuite le facteur x* -f- x -J- 1 en facteurs simples, en le comparant à l’expression (3o) , ce qui nous donnera
2x = 1 , a* -J- S a = 1 , et par conséquent
CALCUL INTLGpAL.
substituant ces valeurs et celles de Me t de N , dans l’équation ( 3 i) , qui nous donneia seconde partie de l’intégrale , et observant que la première est
nous trouverons
234. Lorsque la fraction aura dans son dénominateur des facteurs imaginaires égaux , elle contiendra un ou plusieurs facteursdu second degré de la forme ( x 5 -f- i 6 * y , suivant qu’elle renfermera un ou plusieurs
groupes de facteurs imaginaires égaux. Le facteur
( -f- 2xr + “* + y
correspondra à celte suite de termes :
Il a- ICr . H' K'x
' (jt 1 -4- aa.c-t- a‘ -t- 6 ’ ar*-t- 2 » x -f- a’-*- i‘ ' ’
et ayant opéré de même pour les autres groupes de facteurs égaux , on déterminera les constantes
II, K, H', K', H ", A", . . A,, etc.,
comme précédemment. .
On multipliera ensuite par d.r , et il ne s’agira plus que d’intégrer chaque terme séparément , ce que 1 ou pourra toujours faire lorsqu’on saura intégrer le premier
MÉTITODE DES FU ACTION' S RATION'NELLES. 169 terme de la suite (3a) multiplie par d:r , puisque tous les autres sont de même forme. Pour cet effet, nous écrirons ainsi ce terme :
H + Kx ,
faisant x -f- a = z , il deviendra
// — Ka -+- Kz ,
- \e + z>)p- Ja >
et , en nommant d/Ia partie constante II — • K a, on aura à intégrer
dz.
Celle fraction peut se décomposer en ces deux-ci:
À’cdl
tt ■-+- «’> -+- s> y
Pour, intégrer la première , comme sdz est la différentielle de z 2 -f- 6 2 , à un facteur constant près , nous supposerons s 2 -f- 6 2 — y , et nous aurons zdz = ' dj- ; substituant on obtiendra
C KzHz /*! ,.dr , r , * Ky-P"
J iF^nr-J ; A p=; - ; "T-F
i — p a (« — p) lî' ~' 7 —
Il nous reste à intégrer
il/d*
( c’ + .*> ’ 011 r Iulüt ’
ü/(S 2 +s 2 )-rdz (33).
Four parvenir à celle intégrale , nous la déduirons de celle de I ( 6 2 -j- s 2 y dz , de la manière suivante :
en mminuanl l'exposant^ d’une unité , c’est diviser par
CALCUL INTLCRAL.
e a -f- r % P ar conséquent , en multipliant en même temps par la même quantité , nous aurons l’équation identique
(s a + z s ydz—(& + z 2 j p ~' (e a +3 s )dz,
Çt , en exécutant la multiplication indiquée dans le second membre , il viendra
(e î + ^ i ‘)!’d^ = e l (C 1 + 3 , y- , ds + (6 a +z s /- , z*dzj intégrant , on aura
J ' ( Z'+z'/dz=zt'J' {:'+z'f—dz+ J' (Z'+t')P— î*d=..(34).
Des deux intégrales qui sont dans le second membre de celte équation , nous laisserons la première sous le signe qui l’indique ; à l’égard de la seconde , nous y appliquerons l’intégration par partie. Pour cela , en multipliant et en divisant par 2 l’expression ( 6 a -f- z*/ - ‘z“dz , nous l’écrirons ainsi :
’ 5 (6« + z*/- azdz.... (35); alors (g’+z 1 )? - ‘ 2 zdz s.era la différentielle de - — - ? de sorte que l’expression (35) deviendra
en la comparant à la formule
• J ' «de = i iv — J * edu ,
nous ferons
u = -, pz a
et nous trouverons
i(S a +z a )'’- 1 2zdz=r ■— -/
METHODE DES FRACTIONS RATIONNELLES. \*]l
Substituant cette valeur à la place du dernier terme de l’équation (3/ ( ) , et mettant les constantes en dehors du signe d’intégration , cette équation (34) deviendra
J' (V+z')Pdz=t'J' (t' + z'y—dz (V + z')Pàz;
transposant le dernier terme dans le premier membre , et réduisant, on trouvera
ap
/ ' (e '+z’)Pdz~ i -~^ + i' J' (V+z')P-'dz-, on tire de cette équation
/ ({•+s , )f— <k=— l.(e*+**)P - h C ;c’-4-2’)eiU ;
api' api’ J
faisant p — i = — p, et par conséquent p = l — p , on a enfin
j (i' + z’)-Pdz
Au moyen de cette formule , on fera dépendre l’intégrale de ( 6“ + z 2 y~P d z, d’une autre , dans laquelle la valeur numérique de l’exposant , au lieu d’être p , sera moindre d’une unité ; par la même formule on fera dépendre ensuite l’intégrale de (6* z 2 ) — <4“’) , de celle
de ( 6 2 + z a } — (p — 7 ainsi de suite j de sorte qu’aprfcs chaque substitution l’exposant de la partie intégrale diminuant d’une unité , il ne restera plus en dernier lieu • qu’à intégrer l’expression
<ls
ly?. CALCUL INTÉGRAL.'
or , nous avons vu , art. 200 , que l’intégrale de cette expression était
* arc ( tang ==
On s'arrête à l’intégrale J' ( 6 a -J- 2 ' )~ l dz, et non à celle
où l’exposant est o ■ car si dans la formule (36) on faisait p — 1 , le terme *
— —771 ( S* + z *) ~ P+1 j deviendrait infini.'
235. Il résulte de cette théorie que l’intégration de toute fraction rationnelle ne dépend que de ces trois sortes de formules
c’est pourquoi on dit que toute fraction rationnelle peut toujours s’intégrer ou algébriquement ou par logarithmes ou par arcs de cercle , ou par le concours de ces moyens.
236. Noqp terminerons cette théorie par un exemple qui renferme tous les cas : soit donc la fraction rationnelle
P.r m P’r m 1 -4- P"x m ~' ■+■ etc. ,
"hR'MfrrrsS 1 . . . rr. . . utr. . . djl ' >
dans laquelle on a
R = x b , f facteurs réels inégaux; K= x — c, f
MÉTHODE DES FRACTIONS RATION'fTEiLES. I 7 3
^ = x ~~ d)">\ facteurs réels égaux ;
T = or* -}— 1 % x -f- a a -}■ 6*
T=a? + ix X -J»- a ,a -f- 6' 1 ,V acteurs imaginaires inégaux;
1/ (l* + 2«/+a, / fadeurs imaginaires égaux;
on supposera
Px m +P , x m —'+P"x m —’-i-e te A , B , C
KH K'... SS'... J1\.. VU'... + x — 6 + x— c"*
+ (x-e'F-* + ctc *
+ (T^Tr + (V-/)— + (7Z7r=-. + etc -
, G + iïx , AT -I- Lx
-4- —J™ * " 1 -A- etc*
* AI -h Nx M'+lTx
7* -t- Qx P' -+• Q'x
etc.
et ayant réduit au même dénominateur , on opérera * comme nous l’avons expliqué.
I ^4 CALCUL INTÉGRAL
De V intégration des fonctions irrationnelles.
237 . Lorsque danyune expression différentielle qui contient des radicaux, on peut à l’aide d’une transformation , faire c’vanouir les radicaux , l’intégration sera ramenée à celle des fractions rationnelles.
On peut toujours faire évanouir les radicaux qui n’affectent que des quantités monomes : le procédé que l’on emploiera , pour y parvenir , sera le même que celui dont nous allons faire usage dans l’exemple suivant :
soit — ' dr , ou plutôt — ; — dx ,
on réduira les exposans fractionnaires au même dénominateur , et ayant trouvé que le dénominateur commun est 6, on supposera x ~ z 6 , alors on aura
[/x = z\ \/x = z 2 , dx = 6z 5 dz; substituant ces valeurs on trouvera
dr
on intégrera cette expression par la méthode des fractions rationnelles, et on substituera ensuite dans l’intégrale , la valeur de z en x.
238. Il n' en est pas de même lorsque le radical affecte un polynôme; cependant on peut intégrer toute expression en x , qui renferme \/ A -+- ltx Cx> , c’est-à-dire
toute expression de la forme
F (x, \/ A -+- Hx h- Ct* )d r.
Il peut arriver deux cas j le terme Cx 2 sera positif ou né-
INTÉGRATION DES FONCTIONS IRRATIONNELLES. 1 7 î>
gatifj s’il est positif, on écrira ainsi le radical
si ce terme est négatif , nous le regarderons comme le produit de -f- C par — x 1 , et alors le radical pourra se mettre sous cette forme
pour simplifier , faisons
nous aurons donc à intégrer ces deux expressions
F(x, V a -f- bx -f- x * ) dx, F(x, [/a -j-bx -J- x a ) dx.
Occupons-nous d’abord de la première.
Notre but étant d’obtenir par une transformation les valeurs de x , de dx et de \/ a l>x+ x’, en fonction rationnelle d’une nouvelle variable 2 , nous supposerons
\/ à bx -J- x a = z -j- x * . . . . ( 3 j) ,
parce qu’en clcvant au carré, les termes en x 1 se détruisant il nous restera entre 2 et x , une équation du premier degré de laquelle on pourra t : rer les valeurs de x et de dx , en fonction rationnelle de z. Lissant donc l’équation (37) au carré , et supprimant les termes en x*, on obtient
a -f- bx — 2x2 4 - 2*. ’. . . . ( 38 ) ;
* O11 pourrait aussi égaler le radical h z — x , pais qu’eu devant le» deux membres au cane , les termes en ;t a s’évanouiraient egalement.
d’où l’on tire
au moyen de cette valeur, l’équation (37) devient \/a + bx+ x“ = - ç£~“ £ + z ; ou , en réduisant au même dénominateur , '
V« + bx + 2 1 = — - — •••• ( 4 °)-
fl nous reste à déterminer dx en ; : pour cela nous différencierons l’équation ( 38 ), et nous obtiendrons bdx — zxdz -J- zzdx -f- 2zdz , d’où nous tirerons
( b — 2z)dr = 2(a:-f-z)dz,
et si l’on élimine le radical entre l’équation (37) et l’équation (40) , on aura
(2’ — bz -h a) ' b — 32 i
substituant cette valeur dans l’équation précédente, on trouvera
(b-2Z)âx=-
et
dx——-l z '~ iz ~ ha)
23 g. Prenons pour exemple dx
b — 32 dz (4,).
x \/ A- J- lix -f- Cx a ’ nous écrirons ainsi cette expression dx
|/CXx \/ a bx -f- x* ’
en faisant ^ = a et -g =b. L’équation (4 *) divisée par
