INTÉGRATION' DES FONCTIONS IRRATIONNELLES

l’équation (40) , néus donnera -, après avoir réduit ,

dx ads

\/ a -4- bx ■+■ x’ b -f- 2 z *

et , en divisant par l’équation ( 3 g) , on aura dr ad*

x[/ a ■+■ bx x 1 z% a '

multipliant les dénominateurs par \/ C , cette équation deviendra

dx ^ df 2lJ z

x C\/a-*-bx-*-x* ’ x^ A Bx + Ci’ (*’ — a )y' C*

fraction qui s’intégre par la méthode des fractions rationnelles , puisqu'on peut regarder y/ C comme une constante ordinaire.

240. Pour second exemple, prenons d.r \/m* + x» : en comparant le radical à celui de la formule (40) ,nous avons a = m’, b — o , et en mettant ces valeurs dans les équations (40) et (40 , nous trouverons

x* •+■ m’ , (z'iX-m.'y .

\/m* + x* = —5— . ** ~ Az,

donc

Lorsqu’on aura intégré cette expression rationnelle . on y substituera la valeur de z en x.

241'. La méthode précédente ne peut être employée lorsque Cr* est négatif , car en opérant comme cidessus , on aurait

\/a+bx— cx* — y/c — x'

= \/ C V' a -j- bx —

Or, si nous supposions a -}- bx — x 3 = x -j- s , en élevant au carré les deux membres de cette équation , le terme en x a jic s’éélnouirait pas , et alors la valeur de x en 2 serait irrationnelle. Pour traiter ee cas , nous remarquerons préliminairement que le polynôme a -f- bx — x 3 , est toujours décomposable en facteurs réels du premier degré *.

Soient a et a', les racines de l’équation x* — bx — a xx o , nous aurons , d’apres la propriété des équations

x 3 — b K — *z == ( x — «) (x — a), et par conséquent, en changeant les signes , a-j-bx — x 3 = — (x — a)(x — a)= (x — sc) (a — x); substituant celte valeur dans le radical , nous supposerons * [/(X— a)(a— x)=(x — a) 2... (4»-);

* Pour le démontrer , nous écrirons ainsi ce polynôme :

— (x 3 — bx — a) ,

et nous trouverons les facteurs de x 3 — bx — a , en égalant à^zéro cette «pression , ce qui nous donnera

donc , par la propriété des équations

et puisque, par hypothèse, a représente une quantité positive, les facteurs qui composent Ce produit ne peuvent être imaginaires. Au reste, sans résoudre l’équation x 3 — bx — a = o, on peut conclure, d’après le signe de sou dernier terme, art. 227 , qu’ede a ses racines réelles.

» ; ' . Digrtized biLGopgle

intécratiox des roxcnoNS irrationnelles. 179 celle équation élevée au carré nous donne

et , en supprimant le fadeur commun , on a

a — x = (x — a)z“. . . . . ( 43 ), d’où l’on tire

donc

*' 4- al *

et, en réduisant au même dénominateur , .

cette valeur étant mise dans le second membre de l’équation (42) , on obtient •

A l’égard de dx , il suffit de différencier l’équation (44) pour en obtenir la valeur en z , et nous trouverons

(*• 4-T / ~ zàz - ■ • M«)-