Appliquons ce procédé à l’exemple ,• dx
y a tj- bx — x*
nous diviserons l’équation (4G) par l’équation ( 45 ) , et nous aurons
dx a ( a' — a ) * , ad z
y/a 4- bx — x’
dj:
dx
fv*
— 2 arcs (tang = 2 ) -f- C
a bx — x 1
ou , en remettant la valeur de z , donnée par l’équation (42) ,
/ dx / l/ (x* — a.) (a'f—x) \
ÿa-*-bx — x’ V x a *
= C — 2 arcs ( tang = y/ ^ ~
243. Prenons encore pour exemple dx ax — x’ : en comparant ce radical à celui de l’équation (42) nous aurons a = o," a = 2a, et les équations ( 45 ) et (46; deviennent
iaz
dr :
f\az
■(PTTT)
— d zi O’ 7
1 équations multipliées l’une par l’autre , nous donnent
. 8a’z’dz
dr y 2 ax — r* = —
expression qui s’intégre par la méthode des fractions rationnelles.
De l’intégration des différentielles binômes.
244. Nous avons vu qu’un moyen très-fécond pour intégrer des fonctions qui contiennent des radicaux , était de transformer ces fonctions en d autres rationnelles, pour pouvoir y appliquer la méthode des fractions rationnelles.
La difficulté est de trouver la transformation qui peut être employée pour chaque cas j nous avons indiqué celle qui convient lorsque les radicaux ne sont que des trinômes; ces sortes d’expressions étant trés-fréquentes dans
m INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES BINOMES. 1 8 I
l’analyse , il était utile de faire connaître la transformation propre à les rendre rationnelles. Nous avons aussi donné un procédé général pour rendre rationnelles les fonctions qui ne contiennent que des mongmes élevés à des puissances fractionnaires j il convient donc d’examiner maintenant si, à l’aide d’une transformation, on peut rendre rationnelles les expressions binômes qui sont affectées d’exposans fractionnaires.
245, La formule générale des expressions binômes est x m ~ l (a- f- bx n y dx *. #
Si p est un nombre entier , cette formule s’intégrera par l’art. 19?. ) ainsi nous supposerons p égal à la fraction
- , et nous aurons
Pour rendre cette expression rationnelle, noift ferons a+ bx n z='zi. . . . (48), ou, ce qui revient au meme,
( * - f“ b 3? ) q rrr Z , l '
L expression binôme j4x r -+- Bx * , e'tant un cas particulier fie celle-ci : ( Ax r -4- Bx * )P , c est & cette dernière formule que nous rapporterons les différentielles binômes ; nous pourrons, l'écrire ainsi :
, + Bx’-')]? =zxrp (A+Bx’~ r y,
* * et > en faisant s — r s=z n , rp ~ m t — î, clic deviendra
On a préféré remplacer rp par m - 1 , plutôt qu'c par m, parce que
les conditions d’imégrabilité seront plus faciles J exprimer , comme nous le verrons.
CALCUL 1STECRAL.
et par conséquent *
( a -j- bx M ) q — zP* • • • (49)'
L’équation (4$) étant différenciée nous donne
bnx"~ l dar = qzi~ l d z ( 5 o) J
la même équation (48; étant résolue par rapport à x ,
on a
(zi— «v •
x = {rr~ ) ’
donc , en élevant les deux membres de cette équation à la puissance m , on obtient
différenciant les- deux membres , mettant les constantes en dehors , et divisant par m , on trouve
, , 4 (if —a\n z,T- ’dz ;
*" Ax ^ib\r-b~x
substituant dans l’équation (47) cette valeur ainsi que celle
J e [a-{-b. r") g, donnée par l’équation (49), on a enfin
nb
S î-+-p-'dz (5i).
Celte expression est rationnelle lorsque est un nombre
entier positif; car alors - — —■ est élevé à une puissance
entière, et l’on peut réduire l'expression (5i)a un nombre limité de monomcs , qui peuvent s’intégrer chacun par
l’art. i 85 ou par l’art. >90. Si ^ est un nombre entier
INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES BINOMES. lS 3 négatif, l'expression ( 5 i) devenant aussi rationnelle , on peut l’intégrer par la méthode des fractions rationnelles. 246. Prenons pour exemple l’expression
x 5 ( à -f- bx 1 Jï d.r. .
Dans ce cas, nous* aurons
p— 2 , <7 — 3 , m — i — 5 , ou m —G , n— 2 5 par conséquent la condition d’intégrabilité est satisfaite. Substituait ces valeurs dans l’expression( 5 i),nous aurons à intégrer
=«* = J £ cfe * *»d* + ÿ- ,
donc
on substituera ensuite dans ce résultat la valeur de zen .r.
2.47. Pour obtenir une autre condition d’intégrabilité, écrivons l'expression (47) de la manière suivante :
x m ~' [ (~ + b x" J <7 dx ,
et, en élevant les facteurs du produit -f- b ^ .r" , à la.
puissance £ , nous aurons
- 'HL, a \E np f \P
x m ~~' X q (jïï +p jq = x m ~*~ q cix n + b Jq de,
Or, d’après la démonstration précédente , il faut, pour que cette quantité soit intégrable, qu’on ait
— = nombre entier ,
CALCUL IVTÉCRAL.
ou , en exécutant la division indiquée ,
— -f- - — nombre entier.
248 . Prenons pour exemple l’expression x^dxÿ a +-bx'. En écrivant ainsi cette expression
x* 1 ( a -J- àx 3 y dr ,
on a
m = 5 , n r= 3 , p = 1 , q— 3 , par conséquent , •
donc cette quantité est intégrable. Dans ce cas , on aura
a: 5- " ( a + bx 3 )» dr = ar 5- 1 -f- b idr ,
et en réunissant les exposans [de x , cette expression deviendra
x 5 ( ax~ s -f- b y dr (5a) j
faisant ax~ 3 -}- b == z 3 , nous trouverons
( ax~ 3 -f - b y = z , x~ 3 =
fa , , ï *’*-*
(pr+ t> J — * , p — — — }
la dernière de ces équations nous donne'
d’où l’on tire, par la différentiation ,
iB'dî
x*dr = —
FORMULES DE RÉDUCTION DES DIFFÉRENT. BINOMES. l 85 multipliant entre elles ces deux dernières équations , on a
x 5 cLr = —
aVd*
cette valeur dê a^cLr , et celle de ( ax ~ 3 b J» étant substituées dans l’expression ( 52 ) , on trouve enfin
a? ( ax- 3 + £)? dr = — - f ^ 7 ,
expression qui est intégrable par la méthode des fractions rationnelles.
Des formules de réduction des différentielles binômes.
2^9* Lorsque l'équation x M 'dx ( a -+- bx n )P ne satisfait pas aux , conditions d intégrabilité que nous venons de prescrire, on peut y appliquer l'intégration par parues , de la manière suivante :
En comparant la formule / *"* 1 dx ( a bx n )P , iju premier
membre de l'équation
J^udy=zuo — J' vdu,
nous supposerons
( a ~h bx" y — u , x m ~'dx = ds<, donc v —
et nous aurons , en mettant les constantes en dehors du signe d’intc* gration ,
i™ — 'tir (a + bx n ) P i= (a+bx n f
v nh r .
* m J X m (a+bx n )p— «x»— l 'dx,
ou , en réunissant les exposa ns de x ,
. x m pnb f*
X m — 'dx(a+bx") p = (a+bx"f— — J x m **—(a+bx*)P-<dx..{53) ;
d une autre part , on a l’cqnation identique
(a+i^/= («+ bx" f* l (a + bx*).
l86 CALCUL INTÉGRAL.’
et , eu exécutant la multiplication indiquée , cette équation donna
(a-\- bjc*y=a(a-\- bx ns /~ l kr" ( a -f- bj^y~
multipliant les deux membres para"* — 'dr , on trouve J* x m ~ , àx(a-¥bx n )P=a J' x m — , dx(a-*-bx H )P~ , +b J“ aj”»*"— ‘d x[a+lx H / P
Au moyen de cette équation on peut éliminer le dernier terme de l’équation (53) : car si on multiplie l’éqnation (54) par ‘ — et qn’ou
l’ajoute à l’cquation (53), on trouvera
^ I ■+• — ^ J' x™— l Ax(a-¥bx n )P=x(a+bx n )P— x. m ~'<lx(a+lx")P~' ;
multipliant par m, et divisant ensuite par le facteur constant du presser membre , on obtiendra
”—‘ilx(a+bx*)P= J' x" l ‘~'dx(a+bx H )P 1 * . ( 55 ).
Far celte formule on pourra donc faire dépendre l'intégrale de
& m — ( a lx n )P , d‘une autre dans laquelle l’exposant qui # affecte la parenthèse sera moindre d’une unité.
Si dans cette formule on met ensuite’/? — i à la place de p , l’in-
tégrale de ar m —'dx ( a -4- bx n )P“" dépendra de celle de jr m “ , dx (a H- bx*)P — a j par un même procédé, celle-ci, à «on tour, dépeudra de celle de x m — *dx ( a -+-bx n )P * , et ainsi de suite f de sorte que l’exposant de la parenthèse sera successivement p , p — 1 , p — 2j p — 3 } p — u. ( Par n , nous représentons le plus grand nombre contenu dans p que nous supposons fractionnaire.) Si J on peut obtenir l’intégrâle de x 491 — 1 dx ( a -4- bx n )P~ n , on aora celle où l’exposant de a -4- bx n est plus fort d'une unité, et ainsi de suite, jusqu’à l’intégrale de x^—'dx ( « -4- bx n f , % qu’on obtiendra do cette manière , cil un nombre limité de termes algébriques. a5o. Si p était négatif, l’équation (55) donnerait
Ai).
x m —<àx f a-±-bx n P —
— •r™ ( a+bx”)P+- (m+prt)
~'dx(a+bx n )P ,
)tna
FORMULES DE RÉDUCTION DES DIFFÉRENT. BINOMES. 187* «• faisant p— 1 = p , on aurait ,
/ — 1 » ( a 4- bx" )P+‘ -h[m+ (p-t-i) ]n J Jc m *“ , dr (a+bx n P*'
x m ~'àx{a+lx"\r— — (56),
' (p+Ona
formule dans laquelle si l’on fait p négatif, l’intégrais proposée dé- #
pendra d’une autre dans laquelle l’exposant de la parenthèse sera plus près de zéro d’une unité. *
a5t. On peut aussi diminuer l’exposant de x, hors de la parenthèse.
Pour cet efTet, on égalera eutr’eux les seconds membres des équa- • tions (53) et (54) , ce qui donnera t
x”* vnb C
(a+bx n )P — — — f x m * n —'{a-¥bx n )P—'ix
— a J* x m ~' 'dx\a+bx n )P~'+l> J * x m * n — , dx\a-y-bx n )P~ , l d’oit l’on tirera
J' x m +” — , (a-‘rbx'' f — '<Lr— {a-*-bx u )P~ — -a J' ar*' — ‘d x(a-ybx"' / P ~ l , et par conséquent,
(a J rbx")Px m — nia I x m 'dz(a -y-bx n )P *
. / aM. J . , .
^ jffl+n — 1
'{a+bx'y-'àx = bn^-Jnb
faisons m -+• n = m , p — *i = p y celte êqualion deviendra
x àx{a-±-bx n )Pz
{a^rbx n y*‘ , x m n — (m — n)a
àx{a-ybx n )P,,. (S”).
b {m -y- pn )
Au moyen de cette formule , l’intégrale dépendra d une autre dans laquelle U partie x m 1 , hors de<la parenthèse, deviendra x m ;
cette seconde intégrale dépendra h sou tour d une troisième , dans laquelle la partie hors de la parenthèse sera m — an— 1 : en continuant ainsi , les exposons de x hors de la parenthèse seront successivement m — r , m — n — 1 , m — an — t, m -3n— 1 ..., m — rn — I. (Par rn, on enteud le plus grand multiple renfermé dans m. )• .
A la dernière de ces opérations , l’exposant de x' hors de la parenthèse, dans le second membre de l'équation de réduction , sera
CALCUL IîtTÉGJlAL.
donc m-f m — i ; par conséquent * , dans le premier membre de celte équation , aura pour exposant m — (r — I ) n — i : ainsi en faisant m = m — (r — I ) n , dans la formule ( 5 j) , et en représentant par X la partie intégrée, cette formule nous donnera *
A' — ( m—rn)a I a"* — r " — ■dx(a-+-èx' 1 )P
* b [m — (r — i) rt+pn ]
Si rn est égal h m , Je coefficient m — m est zéro , ce qui fait évanouir dans le second membre de l'équation précédente la partie affectée du signe d'intégration , et il reste *
x m—{, — i)u— ijj. ( a bx-)P— .
bn ( i -t- p )
Cette intégrale étant déterminée exactement , tontes les antres le sont à leur tour , par conséquent, la formule proposée est alors intégrable.
a 5 a. Nous avons supposé que m était positif dans la formule (57) qui diminue l’exposant hors de la parenthèse; pour avoir celle qui convient «u cas où m serait négatif , nous tirerons de la formule (57),
(a+bx n )P* 'x m " — A(m-t- np)
— 'dx(a+bx n )P=: ;
x™— dar(a-t-i.T»ÿ>
faisant m — n — m , on aura
(a-t-ix"}P*'x m — b(ni+n-*-np) I x m *“ *d x(a-+-bx n )P 'dx(a-*-bx n ' l P=x , t •p ( 5 g).
Au moyen de cette formule l'exposant hors de la parenthèse, étant négatif , l'intégrale dépendra d’une autre dans laquelle la valeur de cet exposant sera moindre de rf unités ; car , l’exposant de x hors de la parenthèse , dans le secodd membre de l’équation ( 5 g) , étant m -t- n — t , si l’on remplace m par sa Valeur négative , que nous représenterons par m', cet exposant deviendra — ( m' — n) — I , tandis que celui de x , hors de la parenthèse , dans le premier membre, sera — m' — 1 ; et en ne considérant que les valeurs numériques de ces exposaus , il est certain que — ( m' — n ) 1 , surpas-
sera— rn' — t , de n unités.
FORMULES rtT. RÉDUCTION DES DIFFÉRENT. BINOMES. 1 8 g
a53. Pour donner nne application “de ces formules , soit a m dr
J’écris ainsi celte expression : x m dx (i — x *) a j et en la comparant à celle-ci : x'* -1 d x (a bx n )P , j’aurai
m — i = m, ou m = m -4- i , rz = i , 6 = — i, n = a, p = — — .
L'exposant de la parenthèse ayant une valeur numérique moindre
ejae l’unité , nous chercherons à diminues» l’exposant qui est hors de
la parenthèse , et en conséquence* nous substituerons les valeurs
précédentes dans la formule (5^) , ce qui la changera en celle-ci :
/ x w dx( 1 — a* ) » = — x m ~‘il — ™ L j x m ~ , dx(t — x a ) ^ >
ou
r x”dx m-i r x"-'Ax
Si l’on fait successivement
/ x 7 "—* dx , t/, x * m 3 f* x hl — M.r
y/ 1 X a TO — 2 m 2J 1 — xa
m — m — 4 rx^Èï ^ m-s
' ainsi desaitc.
La première de ces équations nous donnera la râleur -de
, qu’on mettra dans l'équation (60), et l’on trouvera
J y 1 — x a r L m m m — 2J m m — ij y i — x*
on substituera ensuite successivement dans ce résultat , les valeurs de
t z ■ — - de / y , etc. :
si mest un poinbie entier pair , la dernière intégrale que l’on obtiendra sera
dx
p==arc(sin=:*);
fi
igo
si m est un nombre entier impair , cette dernière morale sert
xdx
et comme alors xdx est ladilïei'cniielic de x a , à un facteur constant près, noos ferons i — x* = z , ce qui nous donnera
*i-= f- ii'= r i ,-i j.=— s = »/; = - 1/.~ >-*' J y * J
La dernière intégrale étant trouvée , il en résulte <|ue lorsque m
sera un nombre entier , la formule pourra ion joui* s intégrer.
dx . .
r: en écrivant ainsi
a54* Prenons encore pour exemple cette expression
x— m (i — x a )*— * dx ,
on la comparera à la formule (59) pour diminuer 1 exposant hors de la parenthèse -, et l’on aura
m — • 1 = — w m a =, T , 6 = — 1 , nssf) P ^ — â ; au moyen de ces valeurs , la formule ^9) deviendra
/ /t x a )a (a— mï P
x "• <lx{ 1 — x ’) — ~i— ~7HmT x—" -*- J ,
ou plutôt '
r <l r s + ïiz? r — —
Si mest un nombre pair , par exemple, 8 , l’intcgralade -j
<lr
dépendra de celle de — . ; cene-ci , en vertn de la môme for-
mule , dépendra h son tour de celle de =. , jnstju'h «cJj
dans ce dernier cas la formnlc (Ci) donnera *
de sorte qüe par des substitutions successives on obtient l’intégrale lorsque m est pair.
FORMULES DE RÉDUCTION DES DIFFÉRENT. BINOMES. igt
Dans le cas ou m est impair, par exemple 7, en mettant succès-
si rement dans la fonnnle (61), à la place de ni, les valeurs 7,5,3,
on ne pourra s’arrêter à ni = 1 ; car, dans cette hypothèse , le coeifi-
. ni — 1 . . l
cient — — — - de la seconde intégrale deviendrait - — ■ - — — ce . ainsi , m 1 o
la plus petite valeur que l’on pourra douner k x, sera x = 3. Dan» celte hypoüièse , la formule (61) deviendra
r ,lr , r dx
J a** 3 J aj/ î—x*'
Pour intégrer l'expression , noos ferons * = l , ce qui
nous donnera
dx = -~, et v/“
et par conséquent
YsEl
nous ayons trouvé, art. ail , pag. 143 , tir
y/^TZÏ = Iog(ar-f. V/i*-.),
donc , en changeant ipdî, nous aurons dz
/“ pfc = ~ ( Io s s + V* - .) ;
remettant pour z sa valeur - , on aura dx
= - - a» [■ s/i. - . ] ci- -fc» + Ct
••««. « dx
ainsi la formule --^r== peut s'intégrer, soit qu’on prenne m
” pair ou impair. '
De la quadrature des courbes.
fig. Si. 255. Soit , fig. 5i , l’aire ABMP d’une courbe plane } si l’abscisse AP = x , devient AP' = x -j- h , l’aire s deviendra *
dj , d’j A* .
*+d7 A +d?'T + etc ‘ ’
on aura donc
aire mixtiligne P MM P" = ~ h -f- — {- etc. >
° , dx 1 dac’ a 1
cette aire est comprise entre les deux rectangles PM et P'M, dont il est facile d’avoir les expressions analytiques :
le rectangle PM' xx.f(x-\- h) . li, le rectangle PM — fx . h ;
le rapport de ces rectangles est * f( x -4- A ).A /(xw- A)
dans le cas de la limite , ce rapport se réduit à
Or , la surface mixtiligne P MM' P , étant comprise entre
les deux rectangles , différé moins du rectangle P'M que
le rectangle PM ; donc ; si dans le cas de la limite on a
