DE LA QUADRATURE DES COURBES

pressions analytiques , on aura

, , * dV A’

ri -4-

dx ' rl-r»

-W etc.

fx . h

dj . d’j h

— ■-! h etc.

tir ’ H i * a •

on passera à la limite en faisant h — o, et .l’on trouvera = i * d’où ds = fx . clr ; et en mettant pour fx

sa valeur , on aura • .

ds =jix (6a).

256. On peut aussi de'terniiner la différentielle de l’aire d’une courbe par la méthode des infiniment petits de la 1 manière*suivante , fig 59 : * FIG. 59 .

PM+PM pp.^r+br+â*) x dr= r dx-*- *Ü.

a af ' a »

trapèze PMM‘P '= ? -

rejetant d.r % comme infiniment petit du second ordre il reste pour la différentielle.

257 . Pour première application, cherchons, fig. 52 , FIG 5 l’aire d’une portion JiMP de parabole. Soit y % ~ mx l’équation de cette parabole dont l’origine est /?} on

trouve, en différenciant, yrày = màx ; donc d r = — <]y ,

et par conséquent jdx = - — <\y: intégrant n on a

Pour détermiuer la constante, j’observe que lorsque y— o, l’intégrale , qui exprime la surface.cherchée , est nulle en même temps. Cette hypothèse réduit l’équation (63) à o = o-j- C) donc

Adx = ^r' S ' • a y

l A JL

J- — j^Xmx=- xy.

CALCUL INTLGRAL.

258. Nous avons maintenant des observations importantes à faire sur la détermination de la constante : pour cela résolvons le même problème eiv prenant la parabole dont l’équation est

y*=m+nx ( 64 ).

L’origine des abscisses ici n’est plus au sommet de la courbe; car, en faisant^= o, l’équation ( 64 ) donne x ~ — — y et FIG. 5S, comme cette abscisse doit se terminer aupoint/?, fig. 53, où y — o , on portera ” de B en A , et le point A sera l’origine. Cela posé , en opérant comme précédemment, on • trouvera

ïydyszzndx , donc /tir = d/ et I /'dr = -—■+• C. . . (65).

Pour déterminer la constante j’observe, que la surface ADPM , fig. 53 , qui représente ici l’intégrale , doit être nulle lorsque l’ordonnée MP coïncide avec Aü ; or , A Û étant l'ordonnée qui passe par l’origine A où l’abscisse ^ x=o , l’équation ( 64 ) nous donnera dan» cette hypothèse,

y ou DA — y ni ; faisant donc J'yàx= o et y z=Y m i ces valeurs réduiront l’équation (65) ào = j^’ + C ;

« ai

dloù l’on déduit C — — - — ’ , et par conséquent l’intégrale cherchée est .

y>=l? -\i = <U"ADMP.

abt) Dans ce qui précède nous avons t iré de l’équation de la courbe la valeur de dr , pour la substituer dans

*' DE LA QUADRATURE DES COURBES. lt)5

ia formule dejdv , et inlégrer ensuite, tfious aurions pu opérer autrement , en mettant dans cette expression la valeur dey plutôt que celle de d#; car , pour obtenir l’intégrale , il suffit que là différentielle proposée ne contienne qu’une variable ; ainsi on choisira la substitution qui exigera le moins de calculs.