Une intégrale telle que j 'fx . cLr, peut toujours

représenter l’aire d’une courbe dont l’équation serait j- —fx : en effet , cette équation étant donnée , si l’on

substitue la valeur dej- dans la formule J'jdx, on aura

J'/x.d, pour la surface de celte courbe. C’est pourquoi lorsqu’un problème nous a conduits à intégrer une fonction d’une seule variable , on dit que ce problème est ramène aux quadratures.

261. Soit X une fonction de# , et supposons qu’en intégrant Xdx , on ait obtenu

fxdx = Fx - f- C.... { 66 ), m ‘

cette intégrale dans laquelle la constance C\ p,’tst pas encore déterminée, porte le noin «intégrale indéfinie générale ou plus simplement d’intégrale indéfinie , et cllè est complète lorsqu’elle renferme la constante arbitraire C.

262. Si par une hypothèse on détermine cette constante Ç, si l’on suppose , par exemple, que J' Xdx doive

s'évanouir lorsque x — a, l’équation (66) donne dans ce cas o = Fa -J- Cj donc Qjxz — Fa , et l’équation (66)

devient*

-YcLr = Fx — Fa ,

cette intégrale Foi — Fa est alors une intégrale particulière, et l’on voit que le nombre des intégrales particulières d’une expression différentielle est illimité, puisqu’on peut établir une infinité d’hypothèses différentes sur la constante.

*63. Lorsqu’on fait l’hypothèse de l’intégrale nulle et FIG. 54 . de x — a c’est admettre qu’en prenant , fig. 54 > une abscisse AD = a , la surface soit comprise entre la limite> DD et la limite indéfinie MP qui correspond à AP =; X’ r donc l’opération par laquelle nous déterminons une inté^ grale particulière , est la même que celle qui fixerait la position de la limite DD , depuis laquelle on compte l’intégrale. La seconde limite PM sera fixée à son tour invariablement , si nous donnons à x une valeur déterminée b ; alors l’intégrale particulière J' j~âx '= Fx — Fa , deviendra

fi**

— Fb — Fa. . . . (67) ,

et la surface BD^fP ne sera plus arbitraire. Dans ce cas l’intégrale porte le nom d’intégrale définie , et l’on dit qu’elle est prise depuis X = a jusqu’à x = b.

264. Cherchons maintenant l’intégrale définie de ar m djr; nous sommes donc censés connaître deux valeurs a et b , qui satisfont à l’intégralcindéfinic ,

Supposons que la première corresponde à filx = o y on

aura