DE LA QUADRATURE DES’ COURBES
•t l’intégrale particulière sera
"r-dx = — —
Nohs ferons ensuite x = b , et nous aurons pour l'intégrale définie
x"'dx =
a 65 . On parvient aussi à cette intégrale en Élisant successivement x = a et x =zt> dans l'intégrale indéfinie , et l’on a
on retranchera ensuite le premier résultat du second j mais, en prenant cette différence, il faut toujours avoir soin que la partie soustraite soit la valeur de la fonction, de ià l’origine de l’inlégrale.
266. Pour troisième application, déterminons l’aire d’un triangle rectangle ABC y fig. 55 : l'équation de la droite AC étant,/ = ax , en mettant cette valei^' de,/ dans la formule de j'dx , 00 obtient axâx , donc
J ' > dr = J* ax âx = — f- Cy
la surface étant mdle quand x = o, la constante est égale à zéro , donc
• jr, s 1 ®r* r xy
aire ABC =z — = - X ax — .
267. Si dans la formule ,/cLr 011 met la valeur de/ tirée de l’équation du cercle , on trouvera^* dx [/ a ^— x i pour l’expression de l’aire du cercle. Nous avons vu t
]Ç)8 CALCUL INTÉGRAL
art. ?.o 5 , que cette intégrale avait pour valeur ^ V 7 æ —x* \ a? arc ^ sin = ^ ^ + C.
La partie |a a arc ^ sin ^ ne pouvant se déterminer qu’en supposant coup u le rapport du diamètre à la circonférence*, on voit que l'intégration de d.r \/ «» .*• ne peut conduire à la solution du problème de la quadrature du cercle. Il en est de même delà quadrature l’ellipse , qui dépend de
- J ' dr [/ a' — x >.
268. Si l’on Compare ces deux expressions, on en tirera la proportion
aire ellipse : aire cercle :: - J' d.r à " — : J' àx\/ a ' — ** ,
ou
aire ellipse : aire ceMè : : * : 1 , d’oii l’on tire
aire ellipse — - X aire cercle = - ra a = -ai.
De la rectification des courbes '
269. Rectifier une courbe , c’est obtenir une droite égale à un arc de courbe. Nous avons trouvé, art. 1 33 ,
que la différentielle d’un arc de courbe avait pour ex-
pression ,
df = l/dr a -f - dj-*.. . . (68);
une équation entre deux variables x eljr étant donnée ,
31 par exemple x = g a , j ai - = g, et j opéré comme dans
l’art, ao5 , pour déterminer l'arc correspondant.
RECTITICATtON DES COURBES.
si l’on veut rectifier la courbe à laq^llc elle appartient, on différenciera cette équation , et on en tirera la valeur de dx ou dé dy , qu’on substituera dans l’expression 68 ; alors le radical ne contiendra plus qu’une variable , et si l’on peut obtenir l’intégrale, la courbe sera rectifiable.
270. Prenons pour exemple la courbe * dont l’équation est y 3 — rue*, trouvée art. i 38 ; cette équation étant différenciée nous donnera
, 3 y a dy =± 2/txdx ,
d’oü mais tirerons
dx= ?r!^ ctdxî=; 9^ dj . = §2l fy'-ou *
irix ^ 3 ** a nv J fin-' '
substituant on a
t/dx» + dj-= y / (f ^h- * ) 4r* = â s l + 1 y
dy étant la différentielle de l’expression qui est sous le
radical à une constante priy , nous ferons 7 ^ + 1 = z ,
d'où dy = — dz ; substituant nous aurons
V^dx 1 -f- dy* ss ~ z* d z ;
y j/dx» -f dy* — 3 = -** +
♦ Elle porte le nom de seconde parabole cubique. Celle équation , ainsi que celle de la parabole ordinaire» ne sont qnc des cas particuliers de iVqtfation générale/"* = ax n ; c’est pourquoi celle équation est appelée l’équation de la parabole de tons les ordres.
On a aussi regardé l’équation ory = a de l'hyperbole entre ses asymptotes, comme un cas particulier de l'équation x m j' m = a , tpi est appelée pour cette raison l’équation de l'hyperbole de tous les ordres.
ou , en remettant la pâleur de js,
Pour déterminer 'a constante, on voit, (j'après la nature de ] équation de la courbe -, qu’à l’origine des abscisses y est o • ainsi , en supposant que l’intégrale soit nulle en ce point, on a
o = — 4- O . donc C = — - — . g
et par conséquent •
Si x = a , l’arc s compris ciHre les limites x = o et
x = a sera
• = ^ V Uii’ +•■ ] -r,-
sti. LVqoaiion de lacycloïde, art. ifo, donne djr’ = -J- — Z
a §r — Zf*
•nhsliluanl celle valeur dans la formule ,68) , nous trouverons
= (aa)s' > ^"
Comme dr* exprime la différentielle de l’expression qui est sous la parenthèse, multipliée par -—I ,nous ferons , art. 19}*, aa— y=zx t et nous aurons * •
<îr = — (2 aÿ.z 3 d z.
V in — .y
Cette équation , étant» intégrée , don Oc
f <kr \J j~^=== — 2(ar»p a 3 -fC=— 2[/ïTz+C,
DÉTERMÎN. DE l’àIRE DES SOLIDES DE RÉVOLUTION, ou, en restituant là valeur dey,
fty \/ ïïZZj = ~ 2 V / 2 a( i 2 a^-j) + C....(6g).
Pour déterminer la constante nons prendrons l’integrale de manière quVIle s’évanouisse quand y = na ; dans celle hypothèse , d’équation (69) se réduira à o = o - 4 - C f ce qu? montre qn’il n’y a point de constante à ajouter ; alors l’arc de cycloïdc s’étendra depuis le point R j fig. 57, où y = aa, jusqu’au point M dont les coordonnées soni x et y. La valeur absolue de l’arc MB étant 2^ nn(na — y), nous remarquerons que BE = aa —y , donc z\/ ia ( 7 ,a — y )
= i[/BDxBE = iBG ; d où il suit que l’arc de cycloïde MB est égal au double de la corde Gfl; par conséquent , arc AB'—iBD.
De Ici détermination de l'aire des solides de , révolution.
2721. Si une courbe /?C,fig. 5 i , trace’esur £1 plan, fait Fie. S»< une révolution autour de l’axe AX, elle engendrera un solide de révolution. Cherchons la différentielle de l’aire engendrée par cette courbe. Pour cet effet , soient AP ~x, PM —y , PP' —h,et par conséquent ,
PM = fx —y ,
P'M’= /(* + h) + *£h + g t + e tc.
Dans ce mouvement de rotation les ordonnées MP et M'P décrivant des cercles inégaux , ces cercles seron t les bases d’un cône tronque* dont la corde MM sera' le côté. L’aire de ce cône tronqué aurapour expression
cire. PM -P cire. P'M' ,
— X corde MM'.
En, représentant par i : n le fappoft du diamètre à T» circonférence , l’expression précédente deviendra
™ P . A, . fr . ™ P ' V ' . x corJe MM'=ir{PM+ P'M’) x cor Je MM',
et en mettant, pour les ordonnées PM et P'M ' , leurs valeurs atialjtuples , on aura
airecénctronq. MM'=m (ay -4- h •+■ |j— - — Hetc.^ carie MM' , d'où l’on tirera , en divisant
aire cône tronqué MM' corde MM'
iy
dx
dx*
etc. j.
‘ Si nous représentons maintenant par u l’aire engendréepar le mouvement (fe rotation de l'ârc MM', et par s cet arc de courbe, le premier membre de l’équation précédente devra
être rempilé dans le cas de la limite par ~ , et comme le second se réduit alors à 2-y, nous obtiendrons
du
et par conséqtient du — 27 çyd $ , et en mettant pour &» sa valeur trouvée , art 1 33 , on aura enfin a
• du = 27^ l/da 2 + dj-'C.... (70).
' aj3. On peut donner une démonstration encore plus rigoureuse de la différentielle de l’aire d’un solide de révolution ; la voici : si l’on FIC . 58. imagine que la fig. 58 fasse une révolution autour de l’aie AX, il est certain que la surface engendrée par l’arc MM' sera comprise entre la surface engendrée par la ligne brisée MTM' et la surface décrite par lacordc MM' ; cherchons donc les expresions analytiques de ces surfaces. La surface engendrée par MTM' renferme ces deux parties :
DÉTERMEf. DE L’àIRE DES SOLIDES DE RÉVOLD^KMT. 2o3 1°. Celle qui est engendrée par MT ^
3°. Celle qni est engendree par TM'.
Or, il est évident que la surface engendree par MT, est celle d'un cône tronque dont MT serait le côté et dont PM et P* T seraient. les rayons des bases ; par conséquent l’aire de ce cAfie tronque est égalé à la j somme des'circonfércncç, dontdes rayons sont PM et P'T , multipliée par le côte MT', et, puisque le» circonférences décrites par PM et par P'T sont a xPM et 'ixP T ^nous aurons
aire cine tronqué MT= a» PM+P’T) MT=z-(PM+P’T)MT.
D’une antre part, dans ce mouvement de rotation , P’T et P* AV décrivant des cercles dont les aires sont ttP'T 1 et vrP'AV 1 • ladiflcrcncc de ces aires ou l’aire engendree par T AV sera « ( P* T* — P' AV 1 ) $ donc i#
la surface décrite par MTAT-^PM^- P'T) MT+ P'T* — P'AV*]]
Par le même procédé qui nous a servi à trouver l’expression de la surface dn cône tronqué, engendré par AIT , nous trouverions que le cône tronque* engendré par AI AV , a jiour expression * ( P AI -f- P AV) AI AT j donc
aire dé crite par A1TAV P' T) AH^ F 1 T— P' AP] ' j
aire décrite par AI Al' ir ( PM ■+• P > M > ) AI Al 1 *
Cela pose, soient AP = x , P AI —y , PP' — h, on trouvera
PM'=f(x -t- h) =y etc., #
P'T= PM -+- QT-y+ QT, OC , QT= h tang TMQ = /» — ,
donc P'T =r y h- /* ;
substituant les vaîcurs^de PM , de P* AV et de P T , dans 1 équation (71), le rapport des deux aires deviendra'
* [Q y - % h ) MT +{y+ iSp 8 - (r ■ + £ h + ctc -)] 1
r (1 y -*• h etc.) MM 1
Dans fe cas de la limite, MT= MM', h = o, et le premier mçmBre de l’équalioft (71) se réduit à l’unité. Représentons • par s l’arc de cercle MM' , et par z la surface cngendre'e par cet arc de cercle : il est certain qnc la surfaces étant comprise entre celles dont nous Tenons de prtydre la limite , le rapport de cette surface h l'une d’entre elles aura à plus foijp ratsqp pour limite l'unité; or nous avons aire décrite par l’arc M M' a
aire décrite païUa corde MM 7 t lr . \ }
• * yry ■*- -j~ h -t- etc. j MM' ,
égalant donc cette en pression h l’uuitc in y faisant h = o , z — ds et MM'^zz ds , nous auroni
ds
2ir/dj " 1 »
d’où Ion tire ,
ùz = tt?y < 3 j = 2ir y [/dx 1 -f- d^* , en mettant pour ds sa valeur trouvée, art. t33.
274. Par les infiniment petits on aurait considéré l’élément de la surface de révolution , comme celle d'un cône ’ tronqué , engendré par le trapèze élémentaire
HG. 5 g. MPM' P , fig. 5 g ; ce trapèze aurait donc pour expression
r. ( ~h dy ) dî tas 2TtJ-ds -f- r. dy'ds ;
supprimant le terme 7ttly;df , comme infiniment petit ftt second ordre , il restérait
x-zj às—nrj ^/ <U’-4-dy> clément de la surface de révolution.
275. Pour première application, prenons l’aire du para-, boloïde de révolution , qui est le solide engendré par la
FJG. 60. révolution d’un arc AM de parabole ,’fig. 60 , autour de son axe : l’équation de la parabole j* — pardonne
DETÉRMIN. DE L’AIRE DES SOLIDES DE RÉVOLUTION. 2o5
Celte valeur étant substituée dans la formule 2 -z y \Sdx’-hdy'‘ , la réduit à #
étant la différentielle de la quantité qui est sous le radical, à une constante près, je fais, art. 194 , Ly x
~hp* = z , e| • en différenciant je trouve y<ly — ^ ■ substituant et intégrant , j’obtiens
fjy^y VtrW =/l â« = : r + c
Je détermine la constante en supposant que l’intégrale soit nulle lorsque^ = o , ce qui réduit l’équation précédente à
. ^ -(- C , ce qui donne C = — *—■ ■
et en supposant que l’intégrale soit prise depuis y = o , jusqu’ij- 2= b , l’intégrale définie sera
276. Pour seconde application , évaluons l’aire de la •splière. Cette surface courbe étant engendrée par la révolution de la demi-circonférence autour du diamètre , soit X ' A , f équation du cercle ; en différenciant nous
trouverons xdx yây = o ; donc
206 CALCUL INTÉCKAt.
substituant cette valeur dans la formule (70) , nous obtiendrons •
J* 2l & \J [~r + I*) dr**= J" 2 nix \/ X* -f-j*
= J* 2»rad.r = 27 xax -f (72).
Pour déterminer la constance nous prenions l’intégrale FIG. 61. à partir du point A , fig. 61 , et puisque l'origine des abscisses est au centre, nous supposerons l’inte'graie nulle lorsque x — — a ; cette hypothèse réduira i’équation (72) à
o == — ara* -f* C , donc C = 277 a 1 j substituant celte valeur dans l’équation (72) , nous aurons
J' 2~aâx—2ir (ar -f- a 1 ).
Prenons maintenant l’intégrale définie entre les limites i = -t-ae tr =(i, il faudra cliangpr x en mvlans là formule précédente , et nous obtiendrons pour la surface
de la sphère *
27 radar = 277 ( 2rt a ) = 477a 2
277. On peut aussi trouver l’aire dû cylindre droit, car cette surfaceétant engendrée par larévolution du rectangle fig. 6a. AD, fig. 62, autour de l’axe AD, «aient AD = a, CA=b , l’équation de la droite. CD sera y= b , donc dy = o. En substituant ces valeurs dans la formule (70) , on la réduit à 277 Ôd.r; et en intégrant on a
Ç article = 27: bx -f- C.
CUBÀTURE DES SOUDES DE J1ÉVOLDTIOX. 207
Si l’on prend l’intégrale définie entre les limites x = o . etx—a, on trouve pour l'aire du cylindre
ir.ba = ntb X a — circonférence de la base X hauteur.
A l’égard de l’aire du cône, ce solide étant engendré par ,• la rotation du triangle rectangle ABC , fig. 55 , autour FIGi de l’axe AB ; soient AB — a , CB = b , l’équatiôn de
AC sera y == - x ; cette équation donne par la diffé-
rentiation
dy== - <\x et dj- 1 djr 3 .
Les valeurs de J' et de étant substituées dans la formule (70) , on a
J' lxf\/ àx'+dy' — J" 2 * — ilx\Zâ'~^-b' — K^S/a'+Û'+C,
etenpYenànt l’intégrale définie entre les limites x = o et x = a , on obtient
aire du cône — irb \/ a* -f- b % — 5.-Z1 X —
• stC.
= circonférence /fÇ X — -.
De la cubature des solides de révolution.
278. Soit vie volume engendré par la révolution défaire multiligne autour de l’axe AX. fig. 5i ; si l'abscisse fig AP = x devient AP " — x -f- h , le solide de révolution s’accroîtra du corps engendré par la rotation du trapèze mixtiligiic PMMP autour du même axe. ' Le volume engendré par ABMP étant une fonction dex, puisqu’il augmente ou diminue en même temps que x, le volume engendré par ABM' P' sera une fonction de x -j- h , et
aura pour expression
. de , . d'v h' ,
• ‘'+âT A +â?7 + etc -ï
par conséquent , si on en retranche le volume engendré par ABMP , on aura
de , , dv li> ,
’ T " + xi h etc.
« dx dx* a 1
pour le volume engendré par P Mil P'. Or , ce volume , étant compris entre les cylindres engendrés par les rectangles MPe t MP , différera moins de l’un de ces cylindres que ces cyliiylres ne diffèrent entr’eux ) donc, si l’on peut [prouver que , dans le cas de la limite , le rapport de ces cylindres est l’unité, il en sera à plus forte raison de même du rapport du corps décrit par P MM' P , à l’un de ces cylindres. Cela posé , on a évidemment ,
le cylindre décrit par PM' — ri [ f ( x -f- ê )]* Æ , '
le cylindre décrit par PM = jr ( fit )* h ; *
donc le rapport de ces cylindres est exprimé pr
(Jr )■* ’
En faisant h =0, on voit que ce rapport se réduit à l’unité j il en sera donc de même du rapprt du volume engendré par PMM'P à celui du cylindre décrit par MP' . Or , ce rapport étant représenté par
dw
dï "f - dx*
t h + ±^. +e te.
dr d;r*
+ ^ + etc -
' * {fxfh
on a , dans le cas de la limite ,
Su
Sx
CUBATUUE DES SOLIDES DE REVOLl'TIOV.
'd’où l’on tire
= ir(/x) 3 = ity*,
et enfin ,
de = TT^dx. . . . ( 73 ).<
279. On parviendrait au même résultat par la considération des infiniment petits : car on peut concevoir le volume MON , fig. 64 , comme partagé en tranches infiniment fig 6*. minces par des plans perpendiculaires à l’axe de révolution j l’une de ces tranches , qui est l’élément du corps ,
peut être considérée comme un cylindre, dont la base est le cercle décrit par y, et dont la hauteur est égale à l’épaisseur ab\ représentée par d.rj par conséquent cet élément a pour expression ny*dx.
280. Appliquons cette formule à la détermination du volume de l’ellipsoïde allongé, qui est le volume engendré par la révolution, de l’ellipse autour de son grand axe :
l’équation de l’ellipse rapportée au centre étant je 3 = —
(a* — a:*), on substituera cette valeur de./ 3 dans la formule îr?' 4 dx , et l’on aura , é*
7r/ 4 dx = n — ( a 3 — x 4 ) dx , et , en intégrant , on trouvera *
Supposons que l’intégrale soit nulle au point A, fig. 56 > ou x = — a, nous aurons
et en substituant cette valeur de C, l’équation (74) devient
f V° dx = * ? ( a ' X .~ J + l "')■
CALOX OTÊGRAL.
Faisons ensuite x — a , pour avoir l’intégrale définie comprise entre les limites x = — a et /= -f- a, nous obtiendrons
fy'àx = r.t.\a\
tel sera le volume de l'e)lip60Ïde allongé. Si b = a , ce volume deviendra celui de la sphère et aura pour expression
| rra 3 . = ^ ra 3 X aa = - «/a cylindre circonscrit.
Déterminons encore le volume du paraboloïde de révolution. Pour cet effet , prenons la parabole de tous les ordres pour génératrice , l’éijuation de cette parabole nous donnera .
y =ax J " -, substituant cette valeur dans la formule (? 3 ) , nous obtiendrons
mitarx >n
dx = : C.
Pour déterminer la constante , nous supposerons que le volume soit nul à liorigiue ou x =3 o ; alors nous aurons C= o. Dans lè cas de la parabole ordinaire , w = i, n — 1, donc *
\ v= izd A — as rr*.
Or ,^ 3 étant Faire du cercle dout PM , fig. G 5 , est le rayon , l’expression | 7 -y*, x représente la moitié du cylindre décrit par AP MB autour de l’axe des abscisses : donc ]e volume de la parabole ordinaire est la moitié de celui du cylindre circonscrit.
OJBATÜRE DES SOLIDES DE RéVOLtJTlOîT. ài I
x8i . La cuhature dos solides de révolution peut s’appliquer h l'excavation des mines : on entend par mine nne cavité souterraine h l’exti é- 1 mité de laquelle on place une charge de poudre qui par son explosion fait sauter le terrain situé au-dessus. Comme la poudre dirige son effort du côté qui lui oppose le moins de résistance, on remplit la mine *d' objets arc-boutés , tels que des pierres , des pièces de bois , de la maçonnerie , etc. , et l’on met le feu h la charge an moyen d’un boyau de cuir rempli de poudre et aboutissant à la charge. Ordinairement ou place là charge dans un cube qu’on appelle le fourneau ou la chambre de la mine- le solide enlevé par la mine est son excavation , et le creux qui sc forme après l’explodon , est l'entonnoir de la mine.
On a observé que dans les terrains homogènes, l'entonnoir de la mine était un paraboloïdc renversé t GAE , lig ; (53 , dans lequel le FIG. 63. centre du foqrneau se trouvait au foyer ; et que la distance FD du centre du fourneau à la stipcificic du terrain, qu’on suppose horizontale , était égale au rayon d a cercle GLEK qui termine l'excavation. La droite FD s’appelle la ligne de moindre résistance; In partie BAC située sur son prolongement est une cavité qui provient de l’effort de la poudre contre le terrain. Cette cavité jointe h celle qui est formée par l’excavation , composent ensemble l'entonnoir.
Pour calculer l’excavation , il faut évaluer le solide GEBCi soient y donc AF~ a , FD b , et y a = px , ou plutôt , jr* = 4 ax * , l’équation de la parabole GAE ; si l’on met cette valeur dey a dans la formule (ÿ3) , on trouvera
J* 7ry fl dr = 4 ttyz J ' xdx — ‘iizax* -f- C' }
prenant l'intégrale définie entre les limites x =zaetx=;a-*-b, on
f V'àx =
2 rra ( 6* -f- lab ). . . (75);
telle sera l’expression du volume de l’excavation GBCE. On peut
* En effet , les coordonnées AF = fl , c t BF = \p , devant satisfaire à l'équation y' = px , si l’on substitue ces valeurs , on trouvera '-p'—pa, donc p 4 a.
a 12 CALCUL INTÉGRAL.
simplifier cette expression par la relation qui existe entre a et b. En eilel , puisque d’après l’observation on a GD = DF, il faut que les coordonnées x = a + É, ely — b, satisfassent à l’équation de la parabole , ce qui nous donnera
doù l’on tirera
a devant être positif, nous prendrons le signe supérieur et nous aurons
cette valeur réduit l’équation (j5) à
J' Tj ’àx = nb ( \/ 2 — t ) A 3 y'2 = xb 3 ( 2 — y'a ) = b 3 ( i,S4o3 etc. ) ,
cl en ne prenant que les deux premières décimales ,
J * IOO
^ ‘ donc J’excavalion de la mine est environ la - partie du cube déla
ligne de moindre résistance.
Ainsi , en supposant que y hectogrammes de poudre enlèvent na mètre cube dj terrain , il faudra multiplier par y les mètres cubes de l’excavation , pour avoir la quantité de poudre que l’on doit employer pour faire jouer la miuc.
u8a. Lorsque les solides ne sont pas de révolution , on peut aussi déterminer leurs volumes par le calcul intégral. Pour en donner nn FIG. 66. exemple , fe vais chercher celui de la pyramide ABCD , fig. 66. Pour cet effet , concevons une section GFE , parallèle^ la base DBC , et du sommet A abaissons nne perpendiculaire AH sur la base DCB } nommons x et h les parties AI et 1H de cette perpendiculaire , comprises entre le point A et les plans DCB , GFE ; l’aire du triangle GFE , diminuant , ou augmentant selon la valeur que l’on donne à x , est nne fonction de x ; on a donc
CEF=zjx, DBC=zf(x + h).
CUBÀTURE DES SOUDES DE REVOLUTION. 2(3
Le volume de la pyramide AGFE liant aussi une fonction de x , nous pourrons supposer
vol. AGFE ~ çr , vol, ADBC (x -+■ h ).
Or , il est évident que la pyramide tronquée GB qui est la différence de ces volumes, sera moindre que le volume du prisme , qui a BCD pour base, et h pour hauteur, et surpassera le volume du prisme qui a EFG pour base et h pour hauteur. Le rapport de ccs prismes est
Jx .h ~ Jx »
dans le cas de la limite, ce rapport devenant égal à l’unité', h plus forte raison , le rapport qui existe entre le tronc de pyramide GB , et l’un de ces prismes, sera alors égal à l’unité. Le volume du tronc de pyramide étant représenté par f(a- 4 -A)-i— çr, le rapport de ce volume h celui du prisme dont GFE est la base cl, h la hauteur, sera
t ( x -4- hf— f y
Jx . h
d^r d*fT h
-f- etc.
passant à la limite, nous aurons
jTTte — 1 > ou d ?- r ~f x • ^
283. par la méthode des infiniment petits , on serait parvenu au même résultat, car en concevant la pyramide comme composée d'une infinité de* tranches parallèles à sa base , chaque tranche pourrait être considérée comme un prisme dont Jx serait la base et dx la hauteur ; doue fx . dx est l’élément de la pyramide.
384* Pour déterminer maintenant le volume delà pyramide, soient B l’aire de sa base DBC et A sa hauteur , nous aurous
B : fx : : A’ : or* ,
donc
, Bx* /x=n — , J
substituant cette valeur dans l’équation (^6) , on trouvera
1 tta% à
d'fX z^= — t : dr ,
et en intégrant ' •
TSx * /
le volume A GEF représente' pur fi, s’évanouissant lorsque x = o f il n’y a point de constante )t ajonler. Si l’on fait ensuije x — A , on
aura pour l'intégrale définie , l'expression , qui est celle du volume de la pyramide ACfiD.
En général , si la section GFE , an lieu d’élre un triangle , est une surface quelconque, pourvu que cette sdtface soit une fonction de x , on démontrera, comme nous I avons fait pour la pyramide, que (dément du solide a pour expression fx . dar.
De V intégration des fondions de deux variables.
?85. Nous avons vu que toute différentielle , pour être intégrable , devait être de la forme yrix ; ainsi on serait arrêté dans l’intégration d’une équation , si elle renfer-
niait des termes tels quej ’dx, rydr , — , etc. Cependant il ne faudrait pas conclure qu’elle n’est pas susceptible d’intégration; car, si par des opérations algébriques on pouvait faire en sorte que chaque terme ne cpntint plus qu’une seule variable , l’intégration pourrait s’effectuer ensuite. L’équation xdy -f- jd.r = o<, est dans ce cas. En effet , si on divise cette équation par xjr , elle devient
et en intégrant, elle donne Iogj--f- log x — C; et en représentant par A le nombre dont C est le logarithme, on peut écrire log y -f- log x = log A , et par conséquent log r y =p log A ; passant aux nombres , on a
xj— A.
