TT

et en intégrant celte équation , on obtiendra ■ .

2 \/ y — arc lang x -f- C. . \

288. On séparerait encore les variables par la division dans la*formûle' •

vx.Fy.Ax <t'x.F’y.Ay — o-,

pour cela , il suffirait de diviser par Fy.ax , et l’on aurais

4* • Fy ...

Ce procédé est applicable fi l’cquation , ?;■ 1

xydz + ( 3y -f 1 V x ' = 0 ' î : ‘ '

car si on ila divise par on obtient

■ a ■" i l’ , . ( Sfl+.-i .)• ,

— ; — dx -f- — dv = o.

\/jl‘ — .y J

28q. La séparation des variables peut toujours .s’rft-etuer très-facilement dans les équations à deux variable*)

CALCUL INTÎCRAT..

lorsqu’elles sont homogènes. Une équation homogène esl celle dans laquelle tous les termes considérés par rapport aux variables sont de mêmes dimensions: ainsi l’équation

ax^j- 3 -{- ùjcjri -f- cy 3 x* — o

est une équation homogène , puisque la somme des ex posa ns de x et de y étant égale à 5 dans chaque terme , tous les produits ,r s y 3 r xj* , etc., sont chacun de cinq 'dimensions. .

L’équation • ' ...

ax?y* — bxr’y 3 -j- cy 3 — o

es't aussi homogène , puisque la somme des exposans des variables dans chaque terme est 8 . La variable x neutre pas dans l<*drrnier terme de l’équation , luais cette variable peut être considérée comme élevée à la puissance zéro.

ago. Soit en général

MAx NAy — o. .. . ( 77 ) , -»

une équation dans laquelle" les coefliciens M et N sont composés de termes homogènes, tels que AxP’y, Bx p 'y<\ , CxPy 3 ' , etc. Si nous représentons par n la somme des exposans de x et de y , dans un de ces termes ^nous aurons, en vertu de l’homogéncité , .,

p + <7 —*»>' + 4 — n > P + 4 .— n » etc - ’

Cela posé , si nous divisons tous les termes par x n , l’égalité subsistera encore , et le terme AxPj* deviendra

*4xPf!

et comme la première équation de condition nous donne

n — p~q, l’expression précédente deviendra

Ce que nous disons de ce termfc , étant applicable à tous les autres, l’équation (77) pourra s’écrire ainsi :

•? (;) dx + F (x) Ajr = O*

et si nous faisons -= z r ce qui revient à supposer que dans la proposée on mette zx à la place dey , cette équation deviendra

d xyz -(- dyFz ~ o ,

ou plutôt

Pour achever d’éliminer y au moyen de l’équation = zx , nous différencierons cette équation , et nous obtiendrons '*•

dr . nh

E = z + dT*

cette valeur réduit l'équation (78) à

d'oii Ton tire *

jrd z -- 1 f f 2 zFz )

et, en séparant les variables ,

<1j d zFs x!

X fZ -f- zFi ’

et par conséquent -

r <\?.Fz

log X =— J r^-pï + C, .

Lorscpi’on aura intégré il ne s'agira plus que de mettre dans

le résultat la valeur de z.

Sl8

291. Prenons pour exemple l’équation x 2 d)' — ji ’J.r ’ -J- xjAx : en faisant j** = zx , nous trouverons

Aj = zàx -J- xdz ,

et, en substituant ces valeurs, l’équation deviendra x“zdx -f- x 3 dz = z“x s dx -f~ zx*dx ; réduisant et divisant par x“ , facteur commun , on ob-

tiendra

xdz = z a dx j cette équation , étant divisée par z a et par x , donne

dx dz —

et en intégrant , on aura

logx = — -+ Cs= — r + C — — - -f C.