Prenons pour second exemple l’équation

<?T =jrd-r •

en faisant disparaître le dénominateur on voit que tous les termes de cette équation sont de deux dimensions , ainsi nous supposerons^* zx , et en réduisant , cette équation nous donnera

dx — z ( 1 + s ) ?

dv i , .

mettant pour ^ sa valeur tirée de l’equatîon =• Zx ,*

on aura

xdz r * ( I — * )

2 + dT — ~T-+- - ’

transposant z dans le second membre et réduisant au même dénominateur , on trouvera . - j

dx

— dz ,

INTÉGRATION DES f ONCTION S DE ■ DEUX VARIABLES. 2 ( '9 et enfin

fri - r,-; 10 * !+ c

if a x

ag3. Lorsque l’éqoalion proposée, outre les termes AxPf, BxPf! H- etc., contient de* polynômes tels que ( Mx r y‘ -+- Nx’ , f‘‘ ■+■ etc. )A dx , (»V +<?**>"' + etc -) t les variables seront encore séparables si i on a p-vq— r'+q'= (r+s) A = (i'+sO *= (I-4 -u)i = (l'-4-u')/...(;9)- Pour le démontrer, faisons

et divisons par x n tous les termes du polynôme • J Mx‘f‘ -v Nx' 1 / 1 ' -4- etc. )* ,

ce polynôme deviendra

Mx‘y‘ -t- Nx r 'y?' -4- ete.\ A / -^7"

Xt

or , les équations (8o) nous donnent

substituant ccs valeurs dans Impression picccdente , nous trou-

verons

^jlig + ivÿ ( + etc.)*=[itf0 , + A0 + «te.] ,

ce qui prouve que lorsque les cqnations ( 79 ) ont lieu , les polynômes «loves h des puissances se réduisent comme les autres termes h des

fonctions de-.

Par conséquent , en faisant ^ = * on plutôt f == ex, 1 équation peut se réduire A une fonction de s. Pour en donner un exemple, Aoit - c \

xi\)' — jdx = dx y x 1 — f 1 • - • • Coi).

aïo

Cette équation écrite ainsi :

x'j n dj' — y'x°àx = djr ( — X°J % )* ,

on voit que les éqnations (79) sont satisfaites $ ainsi nous Jcron* jr = zx , et par conséquent

dr :

substituant ces valeurs dans IVquation (8i), réduisant et divisant par le facteur commun , on obtiendra d*

dr

tt par conséquent ,

dx =z — ■

* dr f

fl * ,

— -= ÿi-z>, àz

intégrant , on trouvera , art. 198 ,

x = arc ( cos = z ) -f~ Cf ou, en remettant la valeur de x.

294- En général , lorsqu’on a une fonction homogbue des variables x , y , s , on peut toujours séparer l’une des variables , par exemple x, en faisant^' = Ix , z ~ ux *. ag 5 . On emploie quelquefois des exposais indéternti-

* Voici ce calcul : soit JHdx ■+- iVdv’ -+• Pdz — o , une équation homogène dans laquelle JH, JV , P , sont des fonclions'des trois variables x,^, s; ces fonctions JH, JV, P, contiendront des ternies tels <p\e AxPy'tz’’ , BxP'yt'z' 1 , CxP n jA n z ,u , et l’on an ta p q r

= p‘ ■+■ q' -b r' =s p" -+■ q" ■+■ r" = n. Si dans l’un de ces termes , par exemple , dans AxPjr 1 z r , on substitue les valeurs y — tx , z = ux , ce tel me deviendra

AxPlIxIu'l' =Z xP*1* r x At1u r = x n Avhi r -, la même chose ayant lieu pour les autres termes , si l’on y substitue

t.NTÉCRATIOV DES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES. 221 nés pour rendre une équation homogène : soit par exemple L’équation

q}- m x”d.r j bxPÙx j Ctfdj' = O ;

on supposera jr — z* , et comme l’exposant h n’est pas une variable , mais une constante inconnue , on différencmra pâr l’art, zt , et l’on aura

àjr — kz l ~ l àz et j rm =z lm }

en substituant, obtiendra

az lm x'‘Ax -|- bx p dx -{- C l x z l 'dz = oj

cette équation sera homogène si l’on a

km -\-n=p, q-\- k — i = p •

éliminant l’indéterminée k , on trouvera •

équation de condition qui doit avoir lieu pour que la pro-

posée puisse être homogène par la substitution de j~ — z* __ ,

296. Lorsqu’on a une écjuation difTérentielle Màx -}- iVdy = o , on ne peut pas affirmer qu’il existe toujours une équation qui étant différenciée donnera la pro-

les valeurs dejr et de s , inéquation Mdx -+■ IVày -+* Pdz = o aura at* pour facteur $ supprimant ce facteur commun, elle prendra la forme

f(£,ix)dx-+-/ ï ’(t,u) d.tx -+- f(t,u) d .ux = o ,

et en exécutant les différentiations indiquées , on aura

? ( tyü) dx -H (idr *+• xdt) -+- f(t,u) (udx -+- xdu) = o ,

d'où l'on tirera

[» (*»«) -*• tF J> u ) -+- «/(<.«) ] <1jt = — * [ F[t,u)it +J{t,u) du ] , et par conséquent dx

F { t , u ) df -+- / ( t 9 u ) du

posée, car si l'on différenciait , par exemple , l’équation ff{x ,j-) — o , et qu’ou en tirât màx + w lr = <>j on pourrait multiplier celte équation par une«fonction de x et obtenir une équation Màx -f- Ndÿr = o, dont les coefficiens M et N seraient différens de m et de n j par conséquent l’équation Màx Nfy —o, ne résisterait plus du seul procédé de la différentiation de

11 en serait de même si l’on combinait arbitrairement màx -f- ndj~ = o, avec l’équation primitive,/ - ( x ,j~) = o : par exemple , en éliminant un ou plusieurs termes entre md.r -f- ndj- = o et f ( x ,jr J '= o , on pourrait obtenir une équation

Afdx+iV'dj-=:o,

dans laquelle les coefficiens différentiels M ’ et AT seraient différens de m et de n.

297. Une équation qui telle quemdx-f-/;f}7"=o , a été obtenue par le seul procédé de la différentiation , se nomme une différentielle exacte ; il en est de même de toute fonction différentielle qui ne serait pas égale à zéro mais qu’on aurait trouvée pur le seul moyen de la différentiation. Lorsqu’une équation différentielle Màx -J- A <îr = o, n’est pas une différentielle exacte , on ne peut songer à l’intégrer que lorsqu’on l’a rendue une différentielle exacte par quelque opération préparatoire.