Euler résolut le premier ce problème important

i°. Une équation différentielle étant donnée , déterminer comment on peut reconnaître lorsqu’elle est exacte;

2°. Quel est le moyen d intégrer cette équation ?

Avant que de donner une solution de ce problème, je rappellerai que d’après notre convention , art. 52 , l’expression jjî nous indique que la fonction z de x et de y, a été différenciée par rapport à x , et divisée par dx ; si ensuite cette fonction ^ est différenciée par rapport à une autre variable et divisée par <lj - , nous écrirons ainsi le résultat de cette opération : Si contraire on eût

pris d’abord le coefficient différentiel de z par rapport à

j, et ensuite par rapport à z, on aurait écrit ainsi le

résultat de cette operation :

Lorsque z est une fonction de trois variables x,jy, u ■ une «I*!

expression telle que ( j a indique qu’on a pris d’abord le coefficient différentiel de z par rapport à x , et ensuite le coefficient différentiel de ~ par rapport à y , et enfin , le

coefficient différentiel de ^ * - par rapport à u. Pareil-

lement l’expression » indique qu’on a effectué cinq

différentiations successives sur z , les deux premières par rapport à x , et les trois autres par rapport àj-,

29g. Cela posé , le théorème d’Euler repose sur le lemme suivant :

Si l’on a une fonction z de deux variables x et y , et qu’on prenne le coefficient différentiel de z , d'abord par rapport à x , et qu’on prenne ensuite le coefficient différentiel de — , par rapport à y, on aura le même résul-

tat que si l’on eût d'abord pris le coefficient différentiel de z par rapport à y et ensuite le coefficient différentiel

de ~ par rapport à x : c'est ce qu’on exprime en disant que

drdf djrdx'

3 oo. Voici une démonstration de ce lemme : soit f {x ,y) = z'; si x devient x -J- h = x , on a

/ ( x,jr )~z^-Ph+ Qh 1 -f- Rh 3 4 etc.... (82) ;

retranchant l’équation primitive , il reste f(x, i y)—J(x,j) = Ph 4 Qfc» 4- /M 3 4 etc.. ( 83 );

si j- devient ensuite jr 4 k —7 *i le premier membre de l’équation ( 83 ) se change en

À l’égard du second membre , pour en obtenir la valeur dans cette nouvelle hypothèse , nous remarquerons que P , Q , Ix étant des fonctions dej- , il faut changer

P en P-f P'Âr+ P'k * 4 etc (84),

Q en Q 4 0*4 0"* 4 + elc- »

R en R 4 Pk -f- R" ’â* 4 etc. j

en substituant ces valeurs , l’équation ( 83 ) devient

f ( x >/ ) = P h + P ’ k!l + P"k'h + etc. ,

4 Qh* 4 Q'kh* 4 etc. ,

4 Rh 3 4 etc.,

4 etc 4 etc.;

retranchant l’éqiiation ( 83 ) de celle-ci , il en résultera f y c\/)—f x x,'y)—J{x,r J +f,xj-)=P'kh+P'k t h+elc.'85),

+ çfkh* + etc. , + etc. ;

D’après Jes déveïoppemens (82) et (84) , on voit que

^etque/>'=^ = JÜl

1 <\y (lsil \y

’ rf

fj

Si l’on fait le même calcul , en substituant d’abordy àr, et ensuite xkx,f{x, y ) deviendra par la première substitution, /(x ,y); retranchant la fonction primitive, on aura

changeant .r en x, dans ce résultat, on aura un nouveau résultat duquel retranchant celui-ci , il restera

Par un calcul analogue à celui qui précède , 011 trouvera que celte -expression est égale à un développement qu’on peut représenter par

-P hk -f- P h*k -f- etc. ,

-f Q hk* + etc. ,

+ etc . }

de sorte que nous aurons

/^y;—A^',r)—/M+/C.r, r )==P hk+P h* + etc.

+£>*’+ etc.

En comparant cette équation à 1 équation ( 85 ), on voit que les termes de leurs premiers membres , quoique disposés dans un ordre différent , sont égaux, d’où l’On peut con- . dure que

P'kh -[- P"Ph -f etc. =,Pltk y Ph‘k y etc.

-f- Q'kh* -j- etc. -f -f. etc.

+ etc. ’ -fetc.

Cette équation ayant lieu quels que soient h et k , il faut que Pkh = Phk, ou que P' = P . Or nous avons vu que

P ~ d.r di i C0,,im C il serait facile de reconnaître de

mu

y » Æâ- . ^ ..

même que P = -^- . suit de là ( I ue

d Il — ,£l

<b d/ dyilx'

3oi . Si l’on a, par exemple , z— x* + xjr , on trouve

et par conséquent , d

dxdy.

302. Cela posé, soitr la fonction dont la différentielle est Mdx + Adj- , on a

M — di ’ ^ d/*

La première de ces équations différenciée par rapport kjr . , donnera

AM A'z^

d y cb d y *

la seconde différenciée par rapport à x, donnera diV d’s

dx dfdx ’

les seconds termes de ces équations étant identiques , il en résulte que AJ f ! AN,

djr A* *

Toutes les fois que cette équation de condition aura lieu, la différentielle proposée sera exacte.

3o3. Je recouuais , par exemple , que l’expression ( ix

j ) dx xàj , est une différentielle exacte , parce que

AM , d-/V~

Ay • dx*

est aussi une différentielle exacte , car AM d^V

Ay 1 ^ dx ,