HP
*304. L’équation jdx — xdj = o , n’est pas une dif*
e . . „ . AM dzV
lerentielle exacte , puisque ~ — = 1 et que^- = — 1.
En effet , cette équation dérive de celle-ci :
ydx — xdy
trouvée immédiatement par la différentiation et dans laquelle on a supprimé le diviseur commun jf" ; en le restituant on aura M~ - , N— x - , et la condition ~~
r *’ Af AN
= sera remplie.
3 o 5 . Proposons-nous maintenant d’intégrer une différentielle à deux variables lorsqu’il a été reconnu qu’elle est exacte. Pour cet effet , nous remarquerons d’abord que lorsqu’une fonction z de .r et dey, par la différentiation , a donné Mdx -j- Ndj , le terme Mdx a été obtenu, en regardant,/ - comme constant. Par conséquent , lorsque nous intégrerons la partie Mdx, la constante que nous ajouterons pourra renfermer y , et en la représentant par Y, sauf, si le cas l’exige , à regarder Y comme une constante ordinaire , nous écrirons
u = J' Mdx -f- Y = o.
Cette équation étant celle qui, par la différentiation , a dît nous donner Mdx -|- Ndj- = o, il suit de là que N
n’est autre chose que le coefficient différentiel de J' Mdx -f- Y, par rapport à jr.
En effectuant cette différentiation nous aurons
d CmAx dy
828 CA1.COT. IKTÉGIUI,.
on tire de cette équation
AT
‘ir
et en intégrant
celte valeur de K étant mise dans l’équation (86), nous obtiendrons
r r ( A f Mdx\
= / MdX + J àjr -
yWctr
Il est à observer que
ne renferme pas x,
puisqu 'autrement Y- ne pourrait être une fonction de la seule variable^.
» à J Mdx
3o6. Pour dc'montrer que l'expression Pf —
, n'est
pas une fonction de x, nous en prendrons le coefficient différentiel par rapport à x , et nous anrons
àjv
dx dydx
et en changeant l'ordre des différentiations , la seconde partie de celte expression deviendra
dadjr
df
or , l'inttgrale / Mdx ayant c’te' prise par rapport à r , la difleren-
r J • tiellede / Mdx , relativement à la même variable x, sera Mdx ^
INTEGRATION DES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES. aSQ
donc d M
- — M , ce qui réduit l'expression
/<] ^ A/dx\ \ dx /
dr
à -J- i ‘oWloaii! celle valeur dans l'expression ;88) , nous aurons dif AM -
i or » ctMe qnaaülé est nulle d’après l'équation de condition d’iniégrahilité , doit il suit qne la différemieUe de if — d j' MA*
— — par rapport à x , est nulle , ce qui prouve que celle expression ne renferme pas x.
307. Au moyen de la formule (87) , on peut intégrer toute fonction de deux variables , qui satisfait à la condition d’intégrabilité. Prenons pour exemple ,
( 6xy — J 9 ; dx + ( 3.r 3 axy) dy. ... . (89).
En comprant cette expression à la forinule MAx -{- A’dy nous avons
6 jrr—j % = M , 3 .r* — ixj — N. . . . (90).
Par conséquent , la condition d’intégrabilité est remplie , puisque l’on trouve
AM ? * AIV *
-r— = bx — or = •
Ay J dx ’
intégrant l'expression (6.ry)— y *;dx dans l’hypo thèse «§jconslant, nous aurons *
J * MAx = J' (6xy — j*) dx = 3 x*j —j*x-,
substituant cette valeur et celle de JV dans l’équation (87 X nous obtiendrons
La partie affectée du signe d’intégration , en exécutant la différentiation indiquée, se réduit à
C 3 x® — a xy — 3 x* -J- oy x ) dy »
a 3 o csixtrc- istÈgrai..
et en ôtant le signe d’intégration , on a une différentielle dont les termes se détruisent : il résulte de là que l’expression représentée par
‘ f ( 3 ** ~ 2 *T — - - j - — ) djr,
est constante, vu que toute quantité dont la différentielle est nulle est constante; d’où il suit que l’intégrale cherchée est 3 xy — y*x -f- constante. A
3 o 8 . Si l’on n’eût pas voulu employer la formule trouvée par l’article précédent , on aurait pu faire directement le calcul de la manière suivante :
On intégrera l’expression (8g) en regardant^' comme constant , et l’on aura
J' Mdx=J , (6xf—y*)àx+ Y ,
OU
u = 3 xy — y'x + Y.... (91);
différenciant cette équation par rapport à y , on ob-
tiendra
= 3 ** — 2 xj + (92) :
étant autre chose que le coefficient de dy dans l’ex-
pression (89) , nous avons ^issi
7 ÿ = 3 x'-vey,
AT
comparant ces valeurs , nous trouverons — o, et par
conséquent Y — constante ; mettant cette valeur dans l'équation (91), nous trouverons
= 3 xy — y*x -j- constante.
3 og.. Soit encore la fonction ( oy'x -f 3 y 3 ) d.r -f ( ?.xy -f 9 rjr* + 8y’) dy;
ISTlfGRATIOV DES FONCTIONS 6E DEUX VARIABLES. 23 I
si on la compare à l’expression Màx + A'4>' » 0(1 trouvera
M'— ?y'x -j- ty 3 , iV= 2X 3 / + g*r a + 8 J 3 i
et comme l’on a »
-p = 4/x g/ — dr ’
la fonction proposée est une différentielle exacte. Intégrant par rapport à x , nous aurons
'J Màx =j‘x x + àj^x + Y ,
différenciant cette expression par rapport iy , il viendra du d ( r**’ 3r’x ) j àT #
d’une autre part ^ représentant le coefficient de df dans l’équation proposée, nous aurons encore g:= 2 *y + 9*r a + V; de ces deux valeurs de ^ on tire cette équation d ° f ‘ , ’ !r + -' r - + ^ = a^jr + <nr a + Sjr 3 ,
et en effectuant la différentiation indiquée par rapport à y , on a
ixy + or*r + d -^f = 2V ’J' + 9*r* +' 8rî ’
équation qui se réduit à -^r = Sf 3 ; donc
Y —j Br 3 ^ = V ' 4 c *
et par conséquent l’integrale cherchée est u =y*x a + 3j 3 x -f- ij* + C.
3 io. On a vu , art. 3o4 , que l’équation yàx — xèf
23 a CALCUL INTÉGRAL.
= o , n’était pas une différentielle exacte, parce que cette équation avait perdu le facteur commun on sent
donc qu’il peut exister des équations qui, telles que cellesci, ne sont pas immédiatement intégrables, mais qui le deviendraient si on pouvait restituer ce facteur.
3 il. Soit en général l’équation Air -{- Qdy = o , qui est une différentielle exacte , et z le facteur commun , que pour plus de généralité nous supposerons une fonction de x et de j-, nous aurons
P = Mz, Ç=Nz.
Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation précédente , le facteur commun z disparaîtra , et l’on aura Màx -f- Ndy — o. . . . (g3).
L’équation Ai r -f- Qdy o étant une différentielle exacte par hypothèse , on aura
► dy dx ’
mettant pour P et pour Q leurs valeurs, cette équation deviendra
d Ms diVi ’ •
d y dx ’
et en développant on trouvera
Mit zâM *3, uhV
d f dy dx ' dx
Lorsque le facteur commun z est constant ,
étant nuis , l’équation (g4) devient dM < 1 N djr ’ "dx J
et par conséquent la condition nécessaire pour que l'équation (g3) soit une différentielle exacte , est remplie
Mais lorsque z est une fonction <le x et dej' , la détermination de z dépend de l’équation (94)» Or, celte équation est plus difficile à intégrer que la proposée qui ne renferme
que le seul coefficient différentiel ^ , tandis qiie l’équa-
dz d z
tion (94I renferme les deux coefficiens différentiels c t jj:
et oontient trois variables x,j~ , z.
3i2. Si le facteur commun n’est fonction que de x , on
a = o , ce qui réduit l’équation (94) à
zd A d/
zdM 7V(U . d/V — dF + z d T»
d'où l’on tire
SVdz __ / dM diV 'i
dx “ \ dy dx / *
et par conséquent
f* (dM dM
fr=J
en intégrant on a
logs
/ (dM d y\
) dx,
multipliant JW loge , changeant le coefficient de log e en exposant , et passant aux nombres , on t rouve
11 ne s’agira donc plus que de multiplier .l’équation proposée par ce facteur z , pour quelle devienne une différentielle exacte.
CALCUI, INTÉGRAI*.
3 1 3 . Soit , par exemple , j-àx — xdjr = o , on obtient AM H2V
d y itx 2 ’ •
ce qui réduit la formule (g 5 ) à
/ ilt Ç adr #
d’où l’on tire , en intégrant,
loge=2logx+log C=— logx*+log C= log et en passant aux nombres , on trouve z = — : par conséquent l’expression T — sera une différentielle
exacte.
3 14. On peut trouver une infinité de facteurs qui jouissent de la même propriété. En effet , soit z un facteur qui rendra exacte l’équation *l/zd r -f- jVzd/ = o; en représentant par u l’intégrale de cette équation , nous aurons
Mzàx -{- Nzàjy.= du } •
multipliant les deux membres par yu , nous obtiendrons „ fil ( Mzàx -j- Nzdjr ) z= tpudu.
La forme de yii étant arbitraire , nous pourrons faire, par exemple , fU = 2u* , et alors 2u“du étant une différentielle exacte *
2K* ( Mzàx -f- Nzdj- ) = an*d« , en sera aussi une; donc le facteur 2 zu 3 auras la propriété de rendre intégrable l’expression
Mdx -f- Ndy = o.
On voit qu’on peut faire une infinité d’autres hypothèses sur fu.
3 1 5 . Cherchons maintenant les conditions d’intégrabilité d’une équation différentielle à trois variables. Nous avons du = Mdx -f- Ndy -j- Pdz,
INTÉGRATION DES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES. a 35 et par conséquent
Ax ’ d y ’ dï
On peut combiner deux à deux, ces équations de trois manières différentes :
i°. «j“ = Met p = N-, 2 °. ~r~ — Met p = P;
dr dy 1 dx d *
3°.p =Net p = P.
'Par une démonstration analogue à la précédente, on déduira de ces équations , celles-ci :
AM A1V AM __AP AN AP Ay Ax ’ d z dx * Az dy' ’ " * '9®''
En général, s’il y a n variables, on aura autant d’équations de condition que ces variables peuvent donner de
produits distincts deux à deux , et par conséquent équations de condition.
3i6. Une différentielle exacte de trois variables étant donnée , voici la méthode qne je crois que l’on pourrait suivre pour obtenir la fonction dont elle dérive. Soit
jzdx 4 -(xz + ir) <lr-f (xy + az)dz (97) ,
une différentielle qui satisfait aux équations (97) de condition. Noos intégrerons d’abord l’expression (97) par rapport à la seule variable x p et nous aurons
U —, j'jrzAx 4 - F(jr,z), on
u =jrzx + F(J,Z) (98);
et comme on a aussi
— — -x I àF ■ + d ~’
— xz + ->y ,
nous obtiendrons, en égalant ces valeurs ,
dFfy,*)
et par conséquent
= ir.
dF (j, *) = yty)
intégrant par rapport hy 9 il viendra '
F (J', z)=S* + fz;
substituant cette valeur dan» i équation (g 8 ) , on aura
U ~JZX - f J * + ?* (99).
Cette équation différenciée par rapport à z donne
du . rlmz
la valeur de ce coefficient différentiel étant comparée à celle-ci du , •
multipliant par d z et intégrant, on trouvera
yZ :
mettant cette valeur dans l'équation (99) , on obtiendra
u —J ZX + z* -f C.
Du développement des puissances des cosinus et des sinus en fonction des arcs multiples.
317. La théorie qne nous allons développer reposant snr une formule imaginaire trta-remarqiiablc, non» commencerons pardemontrer celle foimitle. Soit l’expression COa ? y -V sin*y qui est le produit des deux facteurs co» f -t- sin y \/ — i et cos y — sin y — i j si nous
faisons eus y -+- sin y \/ — i = /'y, nous aurons , en différenciant , d/'y . , ,
— — sm tp -f- cos f y — 1;
5 = J* ï.idi -(- C = -f- C -,
DÉVELOPPES!. DES PUISS. DES COSfV. ET DES Sï.V. 237 celte (Sqostion étant multipliée par — \/ — 1 , devient
— pp \/ — ! = sin <f [/— i +
et puisque par hypothèse son second membre est égal à f'f , nous avons
d'où Ton tire
et en intégrant , on trouve ,
fêr xfe=W~,
logF<f^= <?[/— ,=(< f y' ,) loge = loge 7 ^ ’j
passant aux nombres , on a
et en mettant pour Ff sa valeur, on obtient
• cos <p -f- sin <J> y/ — i =± e* ^ 1 .... (100).
Cette équation ayant lieu, quel que soit f , on pourra changer f en tf/f , etl'ou aura encore
cos mf + s > n m ? V'—î = e W ^ y'~ r ~ t '
Il existe une autre expression de cette puissance imaginaire de e , car IVquption (ioo) étant élevée à la puissance m , nous donne
(cosf *-f- sin f l/ZT 7 ) m =e= 1 ' W *
Les seconds membres de ces dernières èrjnations e'tant les mêmes, on a en égalant les premiers 9
(cos f + sin y^/ZT) 1 " = cos mf -}-sin mf (loi) ;
si l’on fait f = — f dans les équations (100) et (101), ces équations deviendront
cos — y -f- sin — <f\Z^ 7 =e ? V 1
(cos — o-f-siu — ? t/^/"==ico«— j/HT.
238 CALCUL IN’TÉCRAL.
FIG. 61. Or , si f est représente par l'arc AD ,ù g. 6 1 , — » le sera par AD' , et comme ces arcs ont les mêmes cosinus et des sinus de signes contraires , on aura *
cos — <p = cos ip , sin — <f = — stn <f ;
on prouverait de même que
- cos — ni? = cos m? , et que sin — m? = — sin m? ;
substituant ces valeurs dans les deux dernières éqnalions de la page a i- , on obtiendta
cos<p — sin ? [/ — i = e ^ *....(102),
( cos ? — sin <f\/--i) m — cos m? — sin mt j.^/HT....(io 3 ).
3 t 8 . Cherchons maintenant le développement de cos m aren fonction des arcs multiples dex , et sans employer les puissances des sinus et des cosinus. Pour cet effet , soient
cosx -j- sin x [/ — 1 =u. . .. (104I , cos x — sin x y/— T = s’. • • • ( 1 o 5 ) ; ces e’quations étant ajoutées donnent
COS X== ^ ( ï£ — {— t' ) ,
et par conséquent
cos”x =±(u + v)”, cos m x— +«)"; développant ces binômes par la formule usitée , on obtient cos” xz= K m—
cos” x = ( f” + mv m ~' u-f-m ^ m ^ -{- etc. j ;
ajoutant ces équations , on trouve
2 m+l cos” x r= u m -j- v m -f- muv ( u m ~ % -j- v m ~ % ) -j- m u»o» ( u m ~l -j- v m ~ ♦ ) -f- etc.... ( 1 06).
On tire des formules (to 4 ) et (to 5 ) ,
iF—(cosx + sin x V/^T)"‘, f” = (cos x — sinx l/Hïj" )
