COS^X I

cos 4-r . . . ,

— 8 - + ï cos 2 r +

3 [9. On peut abréger ces calcula, car les termes également distans des extrémités de la sérié , sont égaux. Pour le démontrer , nous remarquerons que les cosinus qui entrent dans l'équation (108) étant cos mx , cos ( m — a ) x , cos ( m — 4) x > cos ( m — a X 3 ) x, etc. , ou plutôt

cas mx, cos (m — a x i)x, cos;m — axa)x,cos(m — a x 3} x, etc.

en considérant les nombres qui snivent le signe X dans cbaqnc terme de la sérié , on voit que l’un de ces nombres indique celui des termes précédens. Ainsi le terme qui eu a n avant lui, sera affecté de

cos { m — an ) x. A l’égard du terme qui en a n après luî, comme le nombre total des termes de la série est m -+- i , celui qui en a n après lui , tiendra le rang ni - 1 - i — n, et par conséquent aura m — n termes avant lui , donc il renfermera l’expression

cos [m — 2 ( m — n) ]x= cos( — m - 1 - ird ) x , et comme nous avons vn qu’on avait le droit dg changer le signe de l'are dont on a le cosinus, on aura’

cos ( — m -f- 2n ) ,r = cos (tjj — 2 n)x' } donc les termes également distans des extrémités de la série, ont les mêmes cosinus, et comme ils ont aussi les mêmes coefficiens * puisque ces coefEciens sont ceux de la formule du Ignomc , il en résulte que ces termes sont égaux. Ainsi lorsque m est impair le nombre ni ■+■ 1 de*

termes Je la série sera pair , et il suffira de doubler les — i— - pré-

miers termes pour avoir la totalité des termes de la série ; si m est pair, m ■+■ 1 sera impair , alors on ajoutera au terme du milieu le

double de ceux qui le précéderont. Ce terme tiendra le rang — ■+■ 1

daus la série, et par conséquent il sera affecté de cos ( m — 1») = cos 0=1, donc il ne contiendra pas de cosinus.

3 ao. Par un procédé analogue , on peut trouver le développement sin nu. Pour cet effet , eu retranchant l’équation (to 5 ) de l’équation (io 4 ) , on trouve

2 sin x 1/ — 1 = u — 0, donc sin x = —7= ;

élevant les deux membres de cette équation à la puissance ui , on aura

si m est égal à un nombre pair ip , on a

donc

On développera les équations

sin™* =

( 2 v/~ r et siQ '" r Uv-i T ( " “ u5 ' %

♦ On peut le reconnaître en comparant le développement de ( o -+■ b ) m k celui de ( 0 -f- a )™ écrit à rebours.

PUISS. DES COS. ET DES SIX. EX FONCT. DES ARCS MU LT. 2^1 et opérant comme noos l’avons fait ci-dessus, on trouvera

sia"*.* = (cos mx — m cos(/n— a) x+m cos (m— 4)r-+-etc.^

la quantité' imaginaire (a^/ — »)”* disparaîtra du résultat, puisqu’elle est élevée à une puissance paire.

3 a r. Si m est égal à un nombre impair a p ~\r i ,ou aura

( u — v)'P*'=. ( u — t>yp x ( ? — y) = — u)*P x — ( v — u )

par conséquent

tm rn x = ; — - — : ” , sin m x :

développant ( u — ^ et (m — u )**, par formule du binôme, et substituant ces dévcloppemcns dans les équations (109), qu’on ajoutera , on aura

asm m x=j-^r=j^ [n m — u m — ■ — nv{ix m 3 — u m — ’)-4-cteJ '1 io)j

retranchant les équations (*07) 1 nnc .de l’antre , multipliant ensuite entr’elles ccs mêmes équations , et observant que la seconde opération nous donne la somme des cariés de sin mx et décos mx 9 qui équivaut à l’uhrté, on trouvera

u m — k* = 2 sin mx \/ — I > u m ^ m = 1.

En opérant de la même manière que ci-dessus, on changera donc l’équation (110) en

Siu m x = * m mx ~ — sin(m— a)xH »m(m— 4)ar +etc. y

* . -fr

Comme dans cette hypothèse m est impair , la puissance m — 1 à laquelle la quantité 2 — l est élevée est paire, ce qui fait évanouir l’imaginaire \/ — t-

2 4 2 CALCCL INTÉGRAL.

De l’intégration des quantités qui renferment des sinus et des cosinus.

322 . On vient de démontrer que l’on pouvait obtenir les développemensdecos*r, de cos’r, de cos*x,etC . , en fonction des expressions cos x, cos ix , cos 3 x , cos \x , etc. On parviendrait au même résultat par la trigonométrie, de la manière suivante: si dans la formule

cos ( a b ) = cos a cos b — sin a sin b. . . (i 1 1), on fait a — b , on aura

cos 2 a = co$*a — ■ sin'a = cos *a — ( i — cos*a )

= 2 cos s « — IJ

on tire de là

cos’a = \ -4— \ cos 2 a ;

multipliant cette équation par cos a , elle devient cos 3 a = 3 cos a -j- \ cos a . cos 2a. ... (112).

Or, si à l’équation (1 1 1), on ajoute celle-ci :

' cos (b — a ) == cos a cos b -J- sin a sin b , on obtiendra

cos a cos b = | cos ( a -}- b ) -J- 3 cos ( b — a );

faisant b =s 2a , on aura cos a cos 2a = 3 cos 3 a -f- 3 cos a ; éliminant cos a cos 2a , entre cette équation et l’équation (112), on trouvera

cos 3 a = 3 cos a -f- 3 cos 3 a.

On calculerait par le même procédé les puissances supérieures de cos a.

323 . Cela posé, lorsqu’on aura à intégrer l’expression cos m xd.r , dans laquelle m est un nombre entier , on mettra pour cos m x, son développement qui y d’a-