INTÉGRATION DES FONCTIONS DES SIN. ET DES COS. 2.-J

près ce qui précède , ne contiendra tjue des termes pris dans cette suite :

constante , cos x , cos 2x, cos 3x, cos 4x, etc. , de sorte que tout se réduit k savoir intégrer un terme de la forme cos mxAx.

Pour cet effet , nous remarquerons que à dans l’équation

d sin z es cos zdz , on fait z =3 mx , on aura

d sin mx = cos mx.mAx ,

donc / •

/ , sinmj

COS mx dx srs .

On trouverait de même que

/ • , cosrax

sin mxdx = .

Prenons pour exemple cos“xdx : mettent pour cos a x, sa valeur \ -f- i cos 2x , nous aurons

J'cos'xAx = f (î+ï cosax) dx=î 4. 1 sinax-f -C.

324. Si l’on voulait intégrer sin m xdx , on procéderait d’une manière analogue ; ou bien , en représentant par z l’arc complément de x , on aurait

x = | jt — z et dx = — dz , sin x =2 cos * j *

on changerait donc la formule sm"‘xdx , en celle-ci :

— cos m zdz, et l’on intégrerait comme ci-dessus.

325. Prenons le cas plus général sin m xcos"xdx; si m est pair on fera m = 2 m , et l’on aura à intégrer

sin ,m 'x cos"xdx sas ( 1 , — cos a x cos"xdx.

On développera ( 1 — cos s x)»', et en multipliant par

CALCUL IXTÏGBAL.

cos"xdx, on obtiendra une suite de termes, chacun de la forme cos^rdx; et l’on intégrera comme ci-dessus. Si m est impair on fera m = 2 m -f- 1 , et l’on aura

sin m xcos"xdx =sin** 1 xcos n x sinxdx— ( 1 — cos*x;' n 'cos' , x X — d cos x ;

faisant cos x = z , on changera celte expression en — ( « — z a ) m 'z n dz ;

m et n étant par hypothèse des entiers , on développera

et on intégrera.