THÉORIE DES CONSTANTES ARBITRAIRES

Soien t fa,Jb,fc, etc . , ces intégrales premières ; si l’on élimine la constante a cnUcfa—O, et Afa—o, on trouvera l'équation que nous avons

(jy (J , y

désignée par f'" — o ; car entre les quantités x , y , jj— , etc. ,

renfermées dans cette équation, il ne peut pas y avoir d. ux relations différentes. Par la même raison on tombera sur la même équation f = o , en éliminant la constante b entre Jb — o et AJb — o j ainsi de suite.

Si entre les intégrales premières^! = o , Jb = o , fc = o , etc. , qui , comme nous l’avons vu , ne renferment de variables que x , y ,

et les coefiïciens différentiels • • • • -, — ;r > on *K*

dx dr* dx J d x" — 1

mine ces cocfficiens différentiels , on trouvera , entre x et y et les n constantes arbitraires , une équation qui sera l'intégrale finie complète de la proposée. Cette équation est nAiquesons quelque forme qu'elle se présente; par conséquent, si par un moyen quelconque , on peut trouver entre x , y et n constantes arbitraires, une équation qui satisfasse b la proposée, on pourra en conclure que cette équation en est l’intégrale finie complète.

Des équations linéaires.

338. Une équation différentielle entre denx variables x et y , est

dy d*y d 3 y d "y*

dr ’ ’ÔP’ d P’ ’ “*

sont élevées dans ccitc équation qu’au premier degré: ainsi, en supposant que A , B , C , Z);..,. N , X , soient des fonctions de x , l'équation linéaire du n°. ordre sera

linéaire lorsque les expressions y ,

dr+sÊ+cg+og.

. + irg=r..K

3^9» Il est facile d 'intégrer cette équation lorsqu’elle est du premier degré , car elle se réduit à

-fr + «£ = *;

chassant le dénominateur et divisant par B , on peut la mettre sous cette forme

<Jr + Pjàx = Qdx (i 17)-

Pou»riutégrer on égalera y au produit de deux indéterminées X

*t *, ce qui donnera

JT = zX , dy = xd,Y + Xdz; ,

iub.'tmiant ces valeur;» dan» l'équation (117) , on la transformera en

zâX + X(dz + Pzdx ) = Qdx.

X étant arbitraire, on de'termiacra cette fonction en égalant entr'enx le» termes qui ne sont pas sous la parenthèse , ce qui décomposera IVquation précédente en res deux-ci :

X ( dz 4- Pzdx ) — o , zdX = Çdx ;

la première nous donne

— Pdx, el log z = — J' Atari og er= Iog e J Pâjc f

passant aux nombres , on a

-fPdx

d.Y = Qef Plir dx, donc X— J' Qt/ Pix àx -f- C}

par conséquent

fPix

zX, ou yz=e '* £ J* Qe ^ P ^ x djr -{- C , J

3 }°. Lorsque le terme en X est nul dans l’éqaation (i 16) , si an nombre n de valeurs particulières, p , q , r, etc. , mises successive* ment h la place dey, ont chacune la propriété d'y satisfaire, il suffira de multiplier p , q, r, etc., par des constantes arbitraires a ,b, c, etc. , pour conclure que l'intégrale fioie complète de cette équation est

y = np 4 - bq cr 9 etc.

La démonstration de cette proposition étant la même ponr tons 1 rs degrés, nous ne considérerons que l'équation

d** , />d a y | jy d V

ib: « dr* 1 ~ dr 3 En mettant successivement à la place demies valeurs hypothétiques P * 7 i r , nous aurons

ÎF X. l n

Xp + B'jï+CiZ+D

do.*'

Jr + BU+cg + D^oi