SECONDE PARTIE

De la méthode géométrique de comparer les

- figures rectilignes.

Si l’on a fait attention à ce que nous avons dit pour mon tr^j comment on est parvenu à mesurer lès terraips , on a dû reconnaître que les positions des lignes les unes,à l’égard des autres fournissaient des remarques dignes d’attention" par elles-mêmes , indépendamment de l’u^lité dont elles pouvaient être dans la pratique; et il çst à présumer que ces remarques ont engagé les premiers géomètres à pousser plus loin leurs découvertes % car ce ne sont pas seulement les besoins qui déterminent les hommes, la curiosité est souvent un aussi grand > motif pour exciter Jeurs recherphes. - .

progrès de naturellesans la-

Ce qui a du contribuer encoii la Géométrie , c’est le igoût q ment pour cettè précision rigo quelle l’esprit n’est jamais satisfait.

Aussi , lorsqu’en mesurant les figures on s’est aperçu que, daiis un% infinité de cas, les échelles et les demi-cercles ne donnaient que des valeurs approchées des lignes ou des angles , on a cherché dps méthodes qui suppléassent aû. défaut de ces instrumens. , -

Ici, nous reprendrons lès figures rectilignes ; mais dans les Opérations que nous ferons poür découvrir leurs justes rapports , nous né nous servirons que de la règle et du com

Il arrive souvent qu’on a besoin , ou de raP sembler dans une même figure plusieurs jpgures qui lui soient semblables, ou de décomposer une figure en d’autres figures dërnème espèce ; ce qu’on peut faire en opérant d’abord sur les rep-

tangles , puisque toutes les Çgures rectilignes ne sont que des assemblages de triangles, et que chaque triangle est la moitié d’un rectangle qui a même hauteur et même base.

■ * cW

Pour

ftnt * avoir

un âtitre-

qui aifcïa même supèt^^gx^îk daùf la^juit^l aojt‘ différente ^ çar'lp^s^K dei^reoi^gi«“?er ronï changés en deux autres de meme hauteur, ils ne différeront plus due par leurs bases. Le

plus grand sera celui qui aura la. plus grande base^et il contiendra le plus petit de la même ' manière que sa base contiendra celle du plus petit réçiangié; ce qu’on énonce ordinairement v ainsi* : .^JjE^^bctapgles qui ont même hauteur sont en naèmé raispnque leurs bases. • :• < •

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Pour ajouter cesdeux rectangles, il ne faudra ,

que les poser l’un à côté de Pautre. '"'P

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II ne sera pas plus difficile de retrancher le plus petit du plus grand.

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DE GÉ^tATRÏÏ^ . :

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Et pour partager un rectangle en ûn nombre déterminé de rectangles égaux, il faudra co^ïper sa base en un pareil pomJjre de partie»

égales, ensuite élever des perpendiculaires sur Je» points de division.

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Maintenant soit proposé , de changer le rectaUgle ABCD <fen un autre BFEG , qui la même superficie et dont la hauteur^oit BF. ,

On remarquera que puisque sa valeur sera le produit de sa hauteur .par sa base , il f faudra que le rectangle cherché BFÊG, dont ...

. la hauteur sera plus grande qüeBG , ait sa base plus petite qiié ÀB : ç’est-à-dire que, si BF, par exemple , est double, de BÇ , il faudra que BG ne (

, soit ijuesla moitié de AB. i. '

Si BF était lé triple de BC, BG ne serait que . ■

le tiers de AB. / . v >-* v/ '« [ ■: . ,•

ôn verrait de m%ne que- si BF , ail lieu, de contenir BC ^ nombre exact de fois , leconle- ;

7 a • ÉI.ÉMENS • -l

naît avec fraction , comme deux- fois et un tiers, le rectangle BFEG ne pourrait être égal au rectaDgle ABCD , que sa base BG ne fût aussi contenue deux fois et un tiers dans la base AB. Et en général, il sera aisé de voir qu’afîn que deux rectangles ABCD et BFEG soient égaux , f il faudra que la base BG de Éun soit contenue dans la base AB de l’autre, comme là hauleur BC dans la hauteur BF.

|1 ne s’agira donc plus que de diviser la ligne BA de manière que AB soit à GB comme BF à BC; ce qui se fera (l te partie , art. 4» ) en menant la ligne FÀ, et du point donné C, la parallèjpCG.

Pour changer le rectangle ABCD en un autre rectangle BFEG qui ait une hauteur donnée BF , on peut employer une méthode moins naturelle que la précédente, mais plus commode.

Fig. 5g- Ayant prolongé AD jusqu’à ce qu’elle rencontre en I la droite FE1, menée par le point F, parallèlement à AB, on tirera la diagonale BI , et par le point O, où elle rencontra le côté DC,

DE GEOMETRIE. * Jô*

on mènera GOE parallèle à FB ; et le reqtan 1 gle BFEG sera égal au rectangle ABCD.

Pôar le prouver, il suffira de faire voir qu’en ôtant des rectangles ABCD et BFEG la partie ' commune OGBG, le rectangle ADOG égalera lé rectangle EOCF.

Or , si l’on fait attention à l’égalité des deux triangles 1BF et 1BA, on verra qu’en retranchant de ces triangles des quantités égales, les restes seront égaux. Mais le triangle IAB deviendra le rectangle ADOG, si l’on en retranche les deux triangles IDO et OGB : de même le triangle 1BF deviendra Je rectangle EOCF , par le retranchement des triangles 1E0 et OBC égaux aux deux premiers ; donc les deux rectangles ADOG et EOCF, restes des deux triangles, seront égaux entre eux, aussi bien que les rectangles ABCD et BFEG.

Cette seconde manière de changer un re<5-> tangle en un autre confirme le principe que suppose la première,' et qui aurait pu sem-

jA s . ÉLélttfiRS

bler n’être appuyé que sur une simple induction. .. . l; ’ . i * *> *.

De l’égalité des deux rectangles ABCD et BFEG on. avait conclu qu’il fallait que AB fût à BG comme BF à BC; c’est ce qu’on peut maintenant prouver par l’article précédent.

Car les triangles IAB et OGB , étant manifestement semblables, la base AB du grand sera à la base GB du petit comme la hauteur IA à la hauteur OG , ou commç BF à BC, leurs égales : donc AB sera à GB cqmme BF à BC , conformément au principe de l’article 5. , -

• ,De la manière dont, ou vient de s y prendre pour démontrer que de l’égalité des deux rectangles ABCD et BFEG,. il suit que la hauteur BF est à la hauteur BC comme la base AB à la base BC ,.on démontrerait aussi que lorsque quatre lignes BF, BC; AB et BG, serpnt telles que la première sera à la seconde comme la troisième à la quatrième , le rectangle qui aurait pour hauteur et pour /base la première et la quatrième de ces lignes, serait égal au rectan-

if DE GEOMETRIE. 75

' ? fc \;V- * '! W ‘ ,

, gle qui aurait pour hauteur et pour base la seconde et la troisième.

Lorsque quatre quantités, ainsi que les lignes précédentes BF, BC, AB et BG , sont telles que la première sera à la seconde comme la troisième à la quatrième , on dit que ces quatre quantités sont en proportion ou qu’elles forment une proportion. Ainsi, 9, 18 et 27, sont en proportion , parce que 6 est contenu dans g de la même manière que 18 est conteuu dans 27. 11 en est de même de r 5 , 25 , y 5 et 1 25 , etc.

La première et la quatrième des quatre quantités d’une proportion s’appellent termes extrêmes ou simplement extrêmes ; la seconde et la troisième se nomment termes moyens ou simplement moyens.

En se servant des définitions précédentes, il est clair que les propositions renfermées dans les articles 7 et 8 s’énonceront ainsi :

élémess

Lorsque quatre quantités sont en proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

* Si quatre quantités sont telles que le produit des extrêmes soit égal au produit des moyens, ces quatre quantités seront en proportion. y ... . .

11 est à propos de faire beaucoup d’attention aux deux articles Ju-écédens; ils,sont d’un grand usage. On en déduit, entre autres choses, la démonstration de la règle qu’on appelle en Arithmétique , règle de trois. Pour donner une idée de cette règle, nous prendrons un éxem- * pie y c’est la manière la plus simple de se faire entendre. .

Supposons que a4 0uvr i ers aient fait 3o toises d’ouvrage èn un certain temps, on demande

Digiti?ed by G(

combien 64 ouvriers en feront dans un temps égal.

Il est évident que pour résoudre la question, il faut trouver un nombre qui soit à 64 dans la même raison que 3 o à 2 4. Or, suivant ce que nous avons vu , ce nombre sera tel que son • produit par 24 égalera le produit de 3 o par 64 ; mais le produit de 3 o par 64 est 1920; donc le nombre cherché sera celui qui, étant multiplié par 24, donnera 1920. Or, pour peu qu’on ait d’idée des opérations de l’Arithmétique, on doit aisément s’apercevoir qu’il faudra que ce nombre soit le quotient de la division de 1920 par 24 , c’est- à-dire 80.

En général, pour trouver le quatrième terme d’une proportion dont les trois premiers seront donnés, il faudra prendre le produit du second et du troisième, et diviser ce produit par le premier terme de la proportion.

Un exemple aussi simple que celui que nous venons de choisir ne fait peut-être pas assez sentir la nécessité de la méthode précédente. Le

78 ÉLÉMEK8

bon sens seul ferait trouver le nombre demandé. On voit que 3 o surpasse 54 d’on quart , et qu’ainsi il faût que le nombre cherché surpasse 64 d’un quart j ce qui donne 80. Mais il y a des cas ou l’on pourrait chercher plus’lorîgtemps le rapport de» deux premiers nombres de la proportion. • •:*.* *

Par exemple, on veut un quatrième; terme proportionnel aux trois nombres. 25 g, 4°7 et

Pour le trouver par la méthode précédente , il faut multiplier 483 par 407, et diviser 196581 , qui en est le produit, par 2 5 g-, ce qui donne 759 pour le quatrième terme cherché.

Si l’ori s’y était pris autrement pour trouver ce terme, ce n’aurait pu être qu’eç tâtonnant. On aurait bien pu découvrir, par exemple, que 148, excès de 407 sur 259, contient quatre des septièmes parties de 25 g-, qu’ainsi il fallftt ajouter de même à 483 le nombre 276, qui contient quatre de ses septièmes parties. Mais la généralité et la sûreté de la méthode précédente nous sauve toujours de l’embarras des tâtonnefnens, qui même deviendraient inutiles dans bien des cas. 1 ■ ’ ■’ > ‘

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’ Af‘

Lorsqu’on âurâ deux quarrés à ajouter, leur addition se fêta de la même manière que celle de deux rectangles, puisque les quarrés sont des rectangles dont-la hauteur et la base sont égales. On changera donc un des quarrés, le plus petit, par exemple,' en un rectangle qui aura le. côté du grand pour hauteur, et les deux quarrés ne feront plus qu’un rectangle. On pourrait donner de même la hauteur du petit quafré à tous les deux , ou une autre hâuteur à volonté; mais ce qu’on ne pouvait guère manquer de se proposer, lorsqu’on a voulu réduire ainsi deux quarrés en une seule figure , c’était de faire un quarré égal à deux autres*; problème dont il était aisé de trouver la solution suivante.

Supposons d’abord que les deux quarrés ABCD et CBFE, dont on se propose de feire un P»g*6o. seul quarré, soient égaux entre eux. Il est aisé de remarquer que si l’on tire les diagonales AC

80 il-ÊMKIfS;--,

et CF, les triangles ABC et CBF feropt ensemble la valeur d’un quarré : donc en transportant au-dessous de AF les deux autres triangles DCA et CEF, on fer/i le quarré AGFG dont le côté AC sera la diagonale du quarré ABCD , et dont la superficie égalera celle des deux quarrés proposés; ce qui n’a pas besoin d’être démontré.

Supposons présentement qu’on veuille faire un 'quarré égal à la somme des deux quarrés iné* Fig. 61. gaux ADCûî et CFE/", ou , ce qui revient au même, qu’on se propose de changer la figure ADFE fd en un quarré. . ' •

En suivant l’esprit de la méthode précédente, on cherchera s’il n’est point possible de trouver dans la ligne DF quelque point H , tel, v i°. Que tirant les lignes AH et HE, et faisant tourner les triangles ADH et EFjH autour des points A et E, jusqu’à ce qu’ifs aient les positions A dh et E fh , ces deux triangles se joignent en h y

a°. Que les quatre côtés AH, HE , E h et AA

Digitizeçlby

soiént égaux et perpendiculaires les uns aux

Or, ce point H se trouvera en faisant DH égal au côté CF ou EF; car de l’égalité supposée entre DH et CF, il suit premièrement que si l’on fait tourner ADH autour de son angle A, en sorte qu’on lui donne la position A dh y le point H arrivé en h , sera distant du point C

d’un intervalle égal à DF.

De la même égalité supposée entre DH et CF il suit encore que HF égalera DC, et qu’ainsi le triangle EFH tournant autour de E pour prendre la position E fh, le- point H arrivera au même ' point h , distant de C d’un intervalle égal à DF.

’ Donc la figure ADFE fd sera changée en une figure de quatre côtés AHEA. 11 ne s’agit donc plus que de voir si les quatre côtés seront égaux et perpendiculaires les uns aux autres.

Or , l’égalité de ces quatre côtés est évidente, puisque AA et AE seront les mêmes que AH et HE, et que l’égalité de ces deux derniers se tirera de ce que DH étant égal à CF ou à FE, les deux triangles ADH et HEF seront égaux et semblables. \ ÀVV v ; ... -r

11 ne reste donc plus qu’à voir si les côtés de

8a Ét,ÉMEN& . ' . * '*

la figure AHEû formeront des angles droits ; c’est de quoi il est aisé de s’assurer en remarquant que pendant que HAD tournera autour de A, pour arriver eh h Ad , il faudra que Je côté HA fasse Je même mouvement que lé côté AD. Or , le côté AD fera un angle droit DA<i , en devenant Ad ; donc le côté AH fera aussi un angle droit ïïAh en devenant Ah.,

Quant aux autres angles H, E et 7i , il est visible qu’ils seront nécessairement droits ; car il ne: serait pas poâsible qu’une figure terminée par quatre côtés égaux eût un angle droit, sans que les trois autres fussent pareillement droits. ,

Si on remarque que les deux quarrés ADCd et ÇFEjf sont faits , l’un sur AD , moyen côté du triangle ADH, l’autre sur EF égal à DH, petit , côté du même ADH; et que le qüarré AHEA égal. au* deux autres, est décrit sur le grand f côté AH, qu’on nomme communément l’hypoténhse du triangle rectangle , on découvrira bientôt celte fameuse propriété des triangles rectangles, que lé quarré de l’hypoténuse est

égal à la somme des qùarrës faits sur les deux autres côtés. •••,, *' • V

Donc , lorsque de deux quarrés HDLK. et 63 ABCD on n’en voudra faire qu’un seul , il sera *•

inutile de les mettre à côté l’un de l’autre et de

les décomposer, comme on a fait dans l’article 17; il suffira de placer leurs côtés AD et DH Fig. 64. de façon -qu’ils fassent un augle droit, et de tirer ensuite la ligne AH, puisqu’alors cette ligne sera le côté du quarré cherché AHIE.

Si l’on avait deux figures semblables DAFGM et F ^ ,6S et DHPON , ét qu’on se proposât d’en faire uhe troisième , égale en superficie' aux deux autres prises ensemble , il ne faudrait que poser les bases AD et HD de'ces figures sur les deux càr Fig. 67. ' *V tés d’un angle droit ADH , et l’hypoténuse AH du triangle ADH serait la base de la figure . demandée.

Pour en voir la raison, qu’on imagine les -,

quarrés ABCD, DH KL et AHIE faits sur les , ^

dra lui seul les deux autres quarrés ABCD et DHK.L. Or, les figures semblables sont entre elles comme les quarrés de leurs côtés homolo-

^ ’ & - •• if li.*, », ■‘•à. ^ ,5' ’ •

gués (ï re part., art. 47 ) ; donc les trois quarrés ABCD, DHKX. et AH1E se trouveront lés mêmes parties des figures DAF GM, DHPON et AHQRS. '

D’où il sera aisé de conclure que la figure AHQRS vaudra les deux autres. Supposons, par exemple, que chacun de ces quarrés fut la moitié de la figure dans laquelle il serait ren^fermé , personne ne douterait que la figure AHQRS ne fût égale aux deux autres, puisque sa moitié vaudra seule les moitiés des deux figures DHPON et DAFGM. Il en serait de même si les quarrés ABCD, DHK.L et AH1E étaient les deux tiers, les trois quarts, etc., des figures

DAFGM, DHPON et AHQRS.

S £ * Jk# , V v . •*- -• * •

Si l’on se proposait d’ajouter trois, quatre, etc., figures semblables, ou, ce qui revient

•DigiiizedbyG

au même, trois , quatre, etc. , quarrés, la méthode serait toujours la même. Qu’on voulût, par exemple, en ajouter trois, on ferait d’abord un quarré égal aux deux premiers; ensuite, à ce nouveau quarré on ajouterait le troisième, et par là on aurait un quarré égal aux trois

quarres proposes.

De là il suit que si l’on se proposait de faire un quarré, cinq , six , etc. , fois plus grand qu’un autre, il suffirait de suivre la méthode précédente pour résoudre ce problème , et même son inverse, c’est-à-dire pour faire un quarré qui ne serait que la cinquième, la sixième, etc., partie d’un quarré proposé ; ce qui demanderait simplement qu’on se rappelât la manière de trouver une quatrième proportionnelle à trois lignes données. Mais dans la troisième partie de cet Ouvrage, nous donnerons une méthode plus directe et plus commode pour résoudre ces sortes de problèmes.

L’addition des figures semblables fournit une

Sf;

jB ■

86 • ÉLÉSl ENS

preuve décisive de la nécessité d’abandonner les échelles, quand on veut faire les opérations d’une manière qui puisse se démontrer rigou- , reusement. > - - , .

Supposons, par exemple, qu’on eût à faire un quarré double d’un autre; ceux qui ne sauraient pas la méthode donnée dans l’article lô, s’y prendraient vraisemblablement de la ma- ^ -.nière suivante.

Ils diviseraient le côté 'du quarré donné en un grand nombre de parties, en ioo parties, par exemple ; ensuite multipliant 100 par ioo, ,.:fv ils trouveraient ioooo pour la valeur du quarré; ^ ce qui donnerait 20000 pour celle du quarré - demandé. ■ ' , J ,» \ . :

• / Mais de la valeur de celui-ci, ils ne tireraient

-pas la manière de le décrire, il faudrait qu’ils • • • eussent sdn côté exprimé par uu nombre, et

* que ce nombre fût tel, qu’en le multipliant par

. "■ ♦ iui-naôme, c’est-à-dire en le quarrànt, le pro-

■ duit donnât 20000. ' ;

: ■ > Or 'ce nombre dont ils auraient besoins ce serait en vain qu’ils le chercheraient sur une

.éobêlle dont les parties seraient des centièmes vdu oôf^ du premier quarré; car 1 4 1 , multiplié

* DE GÊOMÉTRrE. 87

par lui-même, donnerait 19881 , et 142 donnerait 20164 ; ce qui s’écarterait de part et d’autre du nombre qu’ils devraient trouver.

Peut-être s’imagineraient-ils qu’en partageant le côté du quarré donné en plus de 100 parties, ils trouveraient un nombre déterminé de ces parties pour le côté du quarré double du premier ; mais quelques essais qu’ils pussent faire , ils trouveraient toujours que ce serait en vain qu’ils chercheraient deux nombres, dont un exprimerait le côté, ou, suivant le langage ordinaire, la racine d’un quarré, et l’autre, le côté ou la racine du quarré double.

tre un nombre exact de fois, le quarré duplus grand ne sera pas non plus multiple du quarré du plus petit. Ainsi 5 , par exemple,- ne pouvant pas se diviser exactement par 4 > son quarré z 5 ne pourra pas non plus se diviser par

16, quarré de 4- 1 • • ‘ . * k ; - . > •

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.‘ V ÉLÉMENS v. ' " •

A Vrf V, » | » ^ . .» % * *

■ Donc si Ton quarré deux nombres dont l’un

soit plus grand que l’autre, et en soit cepen- • \ : dant moins que le double , il viendra , par cette

opération, deux autres nombres , dont l’un sera moindre que le quadruple de l’autre, mais sans . en pouvoir être ni le double ni le triple. Donc ,

qu’on divise le côté d’un quarré en tel nombre ; > de Parties qu’on voudra, le côté du quarré dou-

ble qui, suivant ce qui est démontré dans l’ar- - . ticle 16, sera la diagonale de ce quarré, ne con-

• tiendra pas un nombre exact de ces mêmes

J»! 1 ’, , tti' .

.***■#.•'• parties 5 ce cju on exprimerait clans le langage

/ des géomètres, en disant que le côté du quarré

K* 'y et sa diagonale sont incommensurables.

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■ * ' - ■ On peut encore remarquer qu’il y a quantité d’autres lignes qui n’ont aucune commune me-