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Car, qu’on écrive les deux suites

4 ) 5 , 6, 7, 8, 9, etc.,

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" ' ' 4> 9» 16, a5, 36, 49,64, 81, etc.,

dont la première exprime les nombres naturels^

et l’autre leurs quarrés, on verra que, comme les nombres qui seront entre 4 et 9, entre 9 et i6 j entre 16 et 25 , etc. , n’auront aucune ra-

cine, les côtés des deux quarrés, dont l’un sera

Mais de ce que plusieurs lignes sont incommensurables avec d’autres, peut-être pourrait-il naître quelque soupçon sur l’exactitude des propositions qui nous ont servi à constater la pro-‘ portionnalité des figures semblables. On a vu qu’en comparant ces figures (I re part., art. 34 et suiv. ), nous avons toujours supposé qu’elles avaient une échelle qui pouvait également servir à mesurer toutes leurs parties : supposition

qui maintenant paraîtrait devoir être limitée , à

cause de ce qui vient d’être dit. Il faut donc que nous revenions sur nos pas , et que nous examinions si nos propositions, pour etre vraies, n auraient pas elles-mêmes besoin de quelques modifications.

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ÉLÉMEIfS

Reprenons • d’abord ce qui est dit dans l’article 3g de la première partie , et voyons s’il est efég . 68 exactement vrai que les triangles, tels que abc et ABC, dont les angles sont les mêmes, aient» leurs côtés proportionnels. Supposons, par exemple, que la base du premier étant ab 7 celle du second soit une droite AB égale à la diagonale d’un quarrë dont ab serait le côté* et .cherr

chons si, dans cette supposition, le rapport .de AC à ac sera le même que celui de AB

a ab.

Quoique, suivant ce que nous avons vu, quelque grand que pût être le nombre des parties qu’on supposerait arbitrairement dans ab AB ne pourrait jamais contenir un nombre exact de ces parties ; il est cependant aisé de s’apercevoir que plus ce nombre sera grand , plus AB approchera d’être mesuré, exactement avec les parties de ab. Supposons ab divisé en roo parties, ce que AB contiendra de ces parties se trouvera entre \/yi et 1 42 (article 2 3). Contentons-nous de i 4 i> et négligeons le petit reste; il

DE GÉOMÉTRIE. gi

est clair (I r0 part., art. 39) que AC contiendra aussi 14 1 des parties de ac.

Supposons ensuite ab divisé en 1000 parties;

-, ce que AB contiendra des parties de ab sera entre i ^ l 4 et * 4 l 5 - Ne prenons que 1 4 1 4 > et négligeons encore le reste; on trouvera de même que AC contiendra i 4^4 des millièmes parties de ac , et qu’en général AC contiendra toujours autant de parties de ac , avec un reste , que AB contiendra de parties d eab, avec un reste.

De plus , ces restes , comme nous venons de l’observer, seront de part et d’autre d’autant , „. plus petits, que le nombre des parties de ab sera plus grand : donc il sera permis de les négliger si l’on imagine la division de ab poussée jusqu’à l’infini; donc on pourra dire alors que le nombre des parties de ac que contiendra AC, , égalera le nombre des parties de ab que con- , tiendra AB, et qu’ ainsi AC sera à ac comme AB à ab.

Donc nous avons rigoureusement démontré que lorsque deux triangles ont les mêmes angles, ils ont leurs côtés proportionnels, soit que leurs côtés aient une commune mesure, ou qu’ils n’en aient pas. • . • .<

ga ÉLÉMEHS

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La proposition (I r0 part,, art. 45) d’où se tiré” la proportionnalité des lignes qui se répondent dans H A ±*** 7 &&

On verra par de pareils raisonnemens que les propositions expliquées dans les articles 44 et 47 de la première partie, où l’on a fait voir que les aires des triangles et des figures semblables ont entre elles la même proportion que les quarrés de leurs côtés homologues , sont toujours vraies en général, même lorsque les côtés de ces figures sont incommensurables/^ C

Prenons pour exemple les triangles sembla -

bles ABC, abc , dont nous supposerons les hau-

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tit qu’il soit, qui puisse servir de commune mesure à ces triangles et aux quarrés faits sur * ,

leurs bases, c’est-à-dire que les aires abc et àbàe seront incommensurables entre elles, ainsi que

les aires ABC et ABDE; mais il n’en sera pas moins vrai que le triangle ABC sera au quatre ABDE comme le triangle abc au quarré abde.

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DE GÉOMÉTRIE. g3

C’est de quoi on s’assurera en observant que

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plus les parties de l’échelle dont on se servira pour mesurer AB et KC seront supposées petites, plus on approchera d’avoir les nombres qui exprimeront le rapport de ABC à ABDE; donc divisant toujours l’échelle du triangle abc dans le même nombre de parties, et négligeant les restes, on verra que les mêmes nombres serviraient toujours à exprimer le rapport du triangle ABC au quarré ABDE, et celui du triangle aie au quarré abde. Qu’on pousse, par la pensée^ la division des échelles jusqu’à l’infini, les restes deviendront absolument nuis, et l’on pourra dire que les nombres qui exprimeraient le rapport du triangle abc au quarré abde exprimeraient aussi Je rapport du triangle ABC au quarré ABDE, et qu’ainsi le triangle abc sera au quarré abde comme le triangle ABC au quarré ABDE.

Il en serait de même de toutes les figures semblables.

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v.ÉLÉMENS . ......

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