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Fîg.

. ^upppspùs d abord au an aiÿ Faire du tjeftaê 72, X à mesurer. On observera qu’en |ni inscrivant

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un polygone régulier BCDE, etc. , |)lusCÔé po^ lygoné aura de côtésy plias il approchera cf’êtré égal au cercle. Or } on a vu que faire d’un polygone (I* part., art. est égale à jmtantile fois le produit du côté BC par la moitié de l’aipothème ÀH, que le polygone a de côtés f pu, 1 ce qui revient au même que cette aire a pour mesure le produit du contour entier BCDE, étç., par la moitié de l’apothème : donc , puisqq^sui poussant jusqu’à l’infini le nombre des côtes 'Hu polygone, son aire, son contour et son apdtlième égaleront l’aire, le contour et le rayon

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du cércle, la mesure du cercle sera le produit

de sa circonférence par la moitié de son rayon.

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Fig. 53,

11 suit de là que la superficie d’un cercle BCD est égale à celle d’un triangle ÀBL , dont la hauteur serait le rayon AB, et la base ùnè droite BL égale à la circonférence.

Il ne s’agit donc que d’avoir le rayon et la circonférence. A l’égard du rayon, il est aisé de le mesurer ; il n’en est pas de même de la circdnférence. Cependant, pour avoir sa mesure, on peut envelopper le cercle d’un fil, ce qui, dans beaucoup d’occasions, suffit pour la pratique. ■ -

Mais, jusqu’à présent, on n’a pu parvenir à

mesurer géométriquement la circonférence du

cercle, c’est-à-dire à déterminer exactement le

rapport qu’elle a avec le rayon. On trouve ce

rapport à des cent- millièmes, à des millionièmes près, et même on en approche tant qu’on veut, sans que pour cela on puisse le déterminer rigoureusement. V

L’approximation la plus simple qu’on ait

trouvée est celle qu’on tient d’Archimède. Le diamètre ayant ^ parties y ce que la cireohfé* rence contient de ces parties est entre ai et 5a; et l’on sait qu’elle approche beaucoup plus de 23

que deaÆ. : rT|r

; 4 * • iii * | ( > 'JiijKj

EI.EMENS

Au reste, il est clair que si l’on savait exactement le rapport d’une seule circonférence à son rayon, on saurait celui de toutes les autres circonférences à leurs rayons, ce rapport devant être le même dans tous les cerclés. Cette

proposition paraît si simple, qu’elle n’a pas besoin d’être démontrée, puisqu’on sent que, quelles que fussent les opérations qu’on aurait faites pour mesurer une circonférence en se servant des parties de son rayon , il faudrait qu’on v 0 ' * fît les mêmes opérations pour mesurer toute

autre circonférence ; qu’ainsi on lui trouverait le même nombre de parties de son rayon. . >.

11 est évident que les cercles ont encore la propriété générale de toutes les figures semblables (l r0 part., art. 47 )> j e veux dire que leurs surfaces sont en même proportion que les quarrés de leurs côtés homologues ; mais comme, pour appliquer cette proposition aux cercles, on

' de 6ÉOMÉTRIE. gg

ne pourra prendre leurs côtés, il faudra se servir des rayons ; alors on verra que les cercles auront leurs aires proportionnelles aux quarrés de leurs rayons.

S’il ne paraissait pas d’abord que cette proposition dût suivre de ce qui est dit dans l’article 47 de la première partie, et qu’on voulût en avoir une démonstration particulière, on ferait attention qu’il reviendrait absolument au même de comparer les aires de deux cercles BCD et EFG, ou celles des triangles ABL et AEM qui leur seraient égaux (article 2 ), en supposant que leurs bases BL et EM fussent les développemens des circonférences BCD et EFG, et que leurs hauteurs fussent les rayons AB et AE. Or, par l’article précédent, ces triangles

seraient semblables: donc leurs aires seraient en

même proportion que les quarrés de leurs côtés homologues AB et AE, rayons des cercles BGB et EFG j donc, etc.

Fig. 73 «t 74.

.:r is

Les cercle^, à cause de leur similitude, au-

ront aussi, de même que les figures semblables, cette propriété,, que si , en prenant les trois cô-

•Jj

tés d’un triangle rectangle pour rayons, on décrit trois cercles, celui dont le rayon sera l’hypoténuse égalera les deux autres pris, ensemble. •

Ainsi , on pourra toujours trouver un cercle égal à deux cercles donnés , et' cela sans prendre la peine de mesurer chacun de Ctes cerclés. Qu’on veuille, par exemple , faire un bassin qui contienne autant d’eau que deux, autres, la profondeur étant la même; qu’on veuille trouver l’ouverture d’un tuyau de fontaine j>ar lequel 1 ’ il s’écoule autant d’eau que par deux tüyaux

donnés, on y réussira sans peine en prenant la voie que nous venons d’indiquer.

.... Si l’on avait à mesurer- la superficie > d’une Fî g- 7*>. <couronne Y, figure enfermée entré dçux cercles concentriques EFG et BCD, c’est-à-djre' entre , deux cercles qui auraient Tin centre commun; ce qui se présenterait d’abord, ce serait de mesurer séparément les superficies des deux cercles 1 , et de retrancher la plus pçtite de la plus grande. Mais il est aisé de s’apercevoir que le

• DE GÉOMÉTRIE. IOI

problème peut se résoudra d’une manière plus commode pour la pratique. ,

Imaginons un triangle ABL qui ait le rayon AB pour hauteur, et dont la base soit une droite BL égalé à la circonférence BCD. Si l’on mène par le point E la droite EM, parallèle à BL, cette droite sera égale à la ciréonférence EFG.; car, à cause de la similitude des triangles AEM et ABL, il y aura même proportion entre AB et BL, qu’entre AE et EM. Or, par la supposition, BL égalera la circonférence dont AB sera le rayop ; donc EM égalera aussi la cii? conférence' qui aura fiour rayon la ligne AE, partie de AB. Il e%serait de même de toute' autre ligne Kl parallèle à BL; elle serait tou-' jours égale à la circonférence dont AK. serait le rayon.

De l’égalité supposée entre la circonférence EFG et la droite EM, suit nécessairement l’égalité du triangle' AEM au cercle EFG; donc il faut que l’espace rectiligne EBLM soit égal à la couronne proposée V. Or, cet èspace EBLM se peut aisément changer en un rectangle EBPH, en coupant ML en deux parties égales Ml et IL, et eu menant à BL par le point I la

^ ÉUÉMENS

perpendiculaire HïP rf qui donnera le triangle „ ajouté MHI , égal au triangle retranché PLI.

Donc si par le point I on mène à BL la parallèle IR qui coupera EB en deux parties égales, la couronne proposée, égale à l’espace EBLM -ou à EBPH, aura pour mesure le produit de EB par Kl, circonférence dont AK sera le rayon. • -

Donc pour mesurer une couronne V, il faut multiplier sa largeur EB par la circonférence KOQ, dite moyenne entre les circonférences BCD et EFG, parce qu’elle surpasse la petite circonférence EFG, ou la droite EM, d’une quantité MH, égale à PL, quantité dont elle est surpassée par la grande circonférence BCD , ou par la droite BL. ' •»,

Fie. ?r. Lorsqu’il s’agira de mesurer une figure Y, composée d’arcs de cercle différens et de lignes Fig. 76 . droites, ou une figure Z uniquement composée d’arcs de cercle, toute la difficulté se réduira à mesurer des segmens de cercle, c’est-àrdire des espaces tels que ABCE , terminés par un arc tfig-37- ABC et par une corde AÇj car les figures en-

DE GÉOMÉTRIE. Io3

tièrement composées d’arcs de cercle, ou d’arcs et de lignes droites , peuvent toutes être considérées comme des figures rectilignes, augmentées ou diminuées de certains segmens.

La mesure d’un segment quelconque ABGE est facile à trouver lorsqu’on sait celle du cercle; car, qu’on tire les lignes AT et CT au centre T de l’arc, on formera une figure ABCT, appelée secteur 3 dont l’aire sera au cercle comme l’arc ABC à la circonférence entière , et qui par conséquent aura pour mesure le produit de la moitié du rayon AT par l’arc ABC.

Or le secteur étant déterminé, il ne faudra plus

qu’en retrancher le triangle ACT pour avoir le segment ABCE.

Comme il arrive assez souvent que lorsqu’on se propose de mesurer une figure telle que Y, Fig. on n’a pas le centre de l’arc H1K, et que cependant, sans ce centre, on ne saurait mesurer la figure, puisque la méthode précédente exige

la connaissance du rayon , il fîau|; que nous cherchions le centre d’un açc de cercle quelconque.

Soit ABC j’arc de cercle proposé. Si l’on prend à volonté deux points A èt B sur cet arc, et que de ces points, Comme centres, <jn décrive Fîg. 78 . les quatre arcs goi , Joh , Ipk et mpn, les deux premiers d’un rayon quelconque, et les deux autres ou de ce même 'rayon ou de tel autre rayon qu’on voudra, il est clair que le centre cherché de l’arc ABG sera sur -la ligne op qui joindra les pointé d’interseçfipn o„ et p. ’

Choisissant ensuite un troisième point G sur l’arc ABC, et se, servant de B et de C de la

même manière qu’on s’est servi de A et de B , on aura une droite ÿr, sur laquelle devra encore se trouver le centre demandé: donc ce centre 9 Sera le point de rencontre T des lignes op et qr.

Ainsi, quelque arrangement qu’on donne à : trois points, pourvu qu’on ne les place pas en

ligne droite , ou pourra toujours les lier par un arc de:;cércle^ ou, ce qui revient au même,

Fl 6 - 79. quelle que soit la proportion des côtés. AG et

BC 4’ufl triangle A CB avec sa base, on pourra toujours circonscrire un cercle à ce triangle.

îu

La méthode que nous venons de donner pour circonscrire uu cercle à un triangle étant appliquée successivement à différons triangles ABC, et F ^'. 79 AEB et AGB , plus ou moins élevés à l’égard de leur base À-B , on s’aperçoit qn’e repassant dfyn triangle ACB, dont l’angle au sommet est fort aigg, à d’autres triangles AEB et AGB dbnt l’angle au sonjuaet est- plus ouvert, le centre du cercle circonscrit s’approche ^continuellement de AB, et que ce centre passe ensuite au-dessous de AB, lorsque l’angle- au sommet AGB a atteint une certaine ouverture. Or, voyant passer ce centre au-dessous de AB, après l’avoir vu au-dessus , il doit vebir danVl’espril., ce me semble, de cherclter ,de quell^, espèce est le tçiaîigle AFB r lorsque le cercle eirchnsciit- a son Fig. 81. centre Sur AB même. 5 v *'

Pour connaître ce triangle AFB , on commencera par remarquer que, dans;. ce cas particulier, là 1 portion du - cercle cïréQî^scrite au

Iû6 ÉLÉ MEUS •

triangle doit être exactement un demi-cercle. En effet, le centre du cercle devant .se trouver ' sur la base AB, dont les deux extrémités sont^ par la supposition, dans la circonférence, Je centre M ne pourra pas manquer d’être situé précisément au milieu de AB, de sorte que AB sera nécessairement un diamètre.

On verra ensuite que de quelque point F du demi-cercle qu’on tire les lignes FA et FB, l’angle AFB sera droit; car menant FM, les deux triangles AFM et MFB seront isocèles :

donc les deux angles AFM et MFB seront respectivement égaux aux angles FAM et FBM, ou, ce qui revient au même , l’angle total AFB égalera la somme des deux angles FAM et FBM ; mais les' trois angles AFB , FAM et FBM pris ensemble valent deux droits ; donc l’angle AFB sera droit. ' ■< . •

Ainsi , si l’on décrit sur la base AB un triant gle rectangle quelconque, ce triangle aura la propriété demandée d’être inscrit dans un cercle dont le centre est sur la base.

Cette propriété du cercle, que l’angle quia

Digitizéd by

son sommet dans là demi-circonférence et qui est appuyé sur le diamètre est toujours Jdroit, porte à chercher si les autres parties du cercle n’auraient pas quelque propriété analogue; si, par exemple, les angles ACB, AEB et AFB, fig / 8 a.’ pris dans un segment ACEFB, ne seraient pas tous égaux entre eux , ainsi que le sont ceux du. demi-cercle.

Pour nous en assurer , nous commencerons par chercher la valeur d’un de ces angles, et nous verrons ensuite si les autres ont la même valeur. Nous prendrons, par exemple, l’angle AEB, dont le sommet E est placé au milieu de Fig. 83. l’arc AEB. Comme la ligne EDG qui passe par . le centre D, coupe cet angle en deux parties ¥ - • égales, il suffira de mesurer l’angle AEG sa moitié, ou, ce qui revient au même, il suffira de -, savoir quelle partie l’angle AEG est d’un 1 angle déjà mesuré, tel que ADG. Je dis que l’angle ADG est déjà mesuré, parce que nous savons que l’arc AG est sa mesure (I r0 part.., art. 5n ).*

Si l’on fait attention que le' triangle AED est isocèle, on verra facilement que l’aqgle AEG est la moitié de l’angle ADG; car les angles AED et EAD (I r0 part., art. 3i) sont égaux.

I0 8 ' ÉLÉMEHS

Mais (I" part., art. 67) ces deux angles, pris ensemble, valent l’angle exterieuç ADG ; donc l’angle AED ou AEG est la moitié de 1 angle ADG. ’ lf ■ . . ■ {j

Par la même raison , l’angle DEB sera la moitié de l’angle GDB; donc l’angle total AEB égalera la moitié de l’angle ADB; donc sa mesure sera la moitié de l’arc AGB. • \ •

Fig. 84,

Fig. 8a.

L’angle AEB étant mesuré, pour savoir s’il est égal à chacun des autres angles qui ont leur sommet dans le même segment, il faut examiner si un de ces angles pris à volonté, AFB, pgr exemple, est aussi la moitié, de l’angle au centre ADB. On s’en assurera facilement en tirant la droite FDG par le centre; car alors on verra que l’angle AFB sera composé de deux autres AFD et^DFB, qui seront, par l’article précédent, les moitiés des angles ADG et GDB, d’où l’ou conclura que l’angle total AFB sera la moitié de l’angle ADB; et en appliquant le même raisonnement à tous les angles ACB, AEB et AFB, qui ont leurs sommets à la eir-;

conférence , et quis’appuient sur le même arc “AGB, on' pourra 'conclure que ces angles sont "{égaux entre eux, ainsi que noüs 1 avions soup- ^çiftjné dans l’article précédent. , -

'JB

*lfe.

Parmi les.ylîffécens angles qui ont leur sommet dans l’arc ACEFB, il y en a qui pourraient d’abord ne pas paraître compris dans la démonstration précédente: ce sont des angles AFB, F'gtels -que la droite FDG, tirée par Je centre, passe Fors dp l’angle' ADB. Cependant, en remarquant toujours que l’angle GFA est la moitié de l’angle GDA ,1 et l’angle DFB la, moitié de l’angle GDB, onvérra que l’angjd AFB , excès ile l’angle DFB sur l’angle DFA, sera, dans -ce casjtla moitié deV l’angle ADB., eleèsde l’angle GDÇ sur GDA. . ■ . • d' ? • • ' *

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ùi -.'thu , H l >

Par.lps figûres dont nous nous sommés servisi, il ♦semblerait ausâ que la démonstration préeédente ne conviendrait qu’aux segmens plus grands qu’un demi-cercle ; mais il est aisé de

. ' .'ji

1IO ÉLÇMENS

Fig. 86. vo ir qu’un angle quelconque , tel que AFB, qui aurait son sommet dans un segment plus petit qu’un demi- cercle, serait toujours compose de deux autres DFB et DFA, moitiés des angles BDG et ADG; et par, conséquent , que cet angle AFB aurait pour mesure la moitié des deux arcs BG et AG, c’est-à-dire la moitié de l’arc AGB. • '• » A

Après avoir vu que dans un même segment Fig. 89. les angles AEB, AFB et AHB, supposé^ à la cir- ' conférence, sont tous égaux, on est tenté de chercher ce que devient l’angle AQB, lorsque son sommet se confond avec le point B , e?it rémité de la base AB. Cet angle s’évanoüirait-il 4 lors? Mais il ne paraît pas -possible que, sans s’être resserré par degrés, fl vienne tout à ^coùp à s’anéantir. On ne voit pas quel serait le point au-delà duquel Cet angle cesserait d’exister 5 comment donc parviendra-t-on à en trouver la mesure? e^est une difficulté qu’on ne peut résoudre sans recourir à la Géométrie dé l’infini, dont fous les hommes ont au moins une Idée imparfaite qu’il ne s’agit que de développer. 11 .

Observons d’abord que, quand le point E s’approche de B , en devenant F, H, Q, etc., la droite EB s’accourcit continuellement, et que l’angle EBA, qu’elle fait -avec la droite AB, s’ouvre de plus en plus. Mais quelque courte que devienne la ligne QB, l’angle QBA n’en sera pas moins un angle, puisque pour le rendre sensible, il ne faudrait que prolonger la ligne accourcie QB vers R. En doit- il être de même lorsque la ligne QB , à force de diminuer , s’est réduite enfin à zéro? qu’est devenue alors sa position? qu’est devenu son prolongement?

11 est évident qu’il n’est autre chose que la droite BS qui touche le cercle en un seul point B , sans le rencontrer en aucun autre endroit, et que, pour cette raison, on appelle tangente.

De plus, il est clair que pendant que la ligne EB diminue continuellement jusqu’à s’anéantir à la fin, la droite AE, qui devient successivement AF , AH et AQ , etc. , s’approche toujours de AB, et qu’elle se confond enfin avec elle : donc l’angle à la circonférence AEB, après être devenu AFB, AHB et AQB, devient en dernier lieu l’angle ABS , fait par la corde AB et par la tangente BSj et cet angle, qu’on appelle

angle au segment , doit toujours conserver la propriété d’avoir pour mesure la moitié de l’arc AGB.

Quoique cette démonstration soit peut-être un peu abstraite pour les commençans, j’ai cru à propos de la donner > parce qu’il sera très utile a ceux qui voudront pousser letirs études jusqu à la Géométrie de l’infini , de s’être accoutumés de bonne heure à de pareilles considérations.

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Si cependant les commencans trouvaient

cette démonstration au-dessus de leurs forces, il est aisé de les mettre à portée d’en découvrir une autre en leur expliquant la principale propriété des tangentes.

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Cette propriété est qu’une tangente au cercle Fig S8. dans un point quelconque B doit être perpendiculaire au diamètre 1DB , qui passé par ce point; car comme la courbure du cercle est si uniforme qu’un diamètre quelconque 1DB le partage eu deux demi-cercles 1AB et IOB , égaux et également situés h l’égard de ce diamètre, il

DE GÉOMÉTRIE. Il3

Faut que les deux parties BS et BH de la tangente commune à ces deux demi-cercles soient aussi également situées à l’égard de ce diamètre. Or, cela ne saurait être sans que IDB ne soit perpendiculaire à la tangente HBS.

De là, on verra facilement pourquoi l’angle au segment ABS a pour mesure k moitié de l’arc AGB.' - - .... - '• -•

Car l’angle ADB joint avec les deux angles égaux DAB et DBA, fait (l re part., art. 64 ) dê»x angles droits; done/la moitié de l’angle ADB, jointe avec l’angle DBA, fait un droit.

Mais" l’angle DBA, ajoûté avec l’angle : ABS, donne aussi un droit : donc l’angle ABS est égal à la moitié de l’angle ADB ; donc la mesure de ABS sera la moitié de l’arc AGB. :

- ' ' * ** .. ai: x v;

La seconde démonstration que nous venons • de donner de cette propriété du cercle , que l’angle ABS à pour mesure la moitié de l’arc AGB, fournit la solution du problème suivant.

U4 ÉJ.ÉMÈNS

fgo . 89 Décrire sur AB un segment, de cercle capa<ble de l’angle formé L , c’est-à-dire un segment AFB , dans lequel tous les angles AFB à la circonférence soient égaux à l’angle L. - •

Pour résoudre ce problème, il faudra faire en À et en B les angles BAS et ABS, chacun égal à l’angle L, et élever sur AS et sur BS les deux perpendiculaires AD et BD. Leur rencontre D sera le centre de l’arc cherché AFB.

Car, par l’article 19 , les droites BS et AS seront les tangentes du cercle dont le centre est D et le rayon AD ou BD, puisque BD ou AD sont perpendiculaires à BS et à AS. De plus, par l’article précédent , l’angle ABS a pour mesure la moitié de AGB, et, par l’article i 5 , les angles tels que AFB sont aussi' mesurés par la moitié de AGB; donc ces angles AFB seront égaux à ABS, c’est-à-dire à l’angle L, ainsi qu’on le demandait.

La découverte des propriétés des segmens de Gercle, que nous venons d’expliquer, est due vraisemblablement à la simple curiosité des géomètres ; mais il en a été de cette décou--

DE GÉOMÉTRIE. * , c Il5

verte comme il en est tous les jours de beaucoup d’autres : ce qu’on ne croyait pas d’abord utile, le devient par la suite. On a fait dans la pratique des applications fort heureuses des propriétés du cercle que nous venons de démontrer. Je ne donnerai qu’une seule de ces applications; on la trouve dans la solution du problème suivant, qui est souvent nécessaire dans la Géographie. :

A, B et C sont trois lieux dont on connaît Fig. gt. les distances respectives AB , BG et AC ; il s’agit de savoir à quelle distance de ces lieux est un point D, d’où l’on peut les voir tous lés trois,, inais d’où l’on ne peut sortir pour opérer sur le terrain, s 1 ■'

On commencera par tracer sur le papier trois ' 1 points a, b et c, qui soient situés entre eux de et * l |; 9 * la même manière que les trois points A , B et G, c’est-à-dire, en langage géométrique, qu’on fera le triangle abc semblable au triangle ABC.

Ayant observé ensuite avec le demi-cercle la grandeur des angles ADB et BDG, on fera sur ab le segment de' cercle adb capable de l’angle ADB; et sur la droite bc , le segment de cercle bdc capable de l’angle BDC. La rencontre d de

<Il6 , * . ÉlTÉ&'EfcS

çes deu* segmens désignera , sur le papier , la position du lieu D , c’est-à-dire que les lignes da , db ej. de seront en même proportion à l’égsûd de bc et ac, que les distances cherchées DA, DB et DC, à l’égard des distances données AB, BC et AC : ce qui n’a pas besoin de démonstration après ce qu’on a vu sur les figures semblables.

*. On pourrait facilement faire voir que la pratique a tiré bien d’autres secours des propriétés du cercle qu’on vient de démontrer; mais il est plus à propos de passer, à d’autres propriétés du . v cercle , qui oht été tirées des précédentes et qviî ont eu aussi leur utilité.

Pour procéder par ordre à la découverte de ces propriétés > nous commencerons par remar- Fig. g3. quer que deux angles quelconques EDC etEBC, qui s’appuient sur le même arcEC, étant égaux, il s’ensuit que les triangles DAE et BAC ont les angles égaux, c’est-à-dire (I re part., art. 3g) que ces triagles sont semblables.

Car par la même raison que l’angle EDC est égal à l’angle EBC , l’angle DEB sera égal à l’an-

gle DCBj et quant aux angles DAE et BAC , ils seront visiblement égaux, soit parce qu’ils sont faits de mêmes lignes , soit parce que deux triangles, dont l’un a deux angles respectivement égaux à deux angles de l’autre, ont aussi nécessairement le troisième angle égal (l r ° part., art. 38).

Pour reconnaître plus facilement ensuite dans les triangles ADE et ABC, les propriétés générales des triangles semblables, nous appliquerons le triangle DAE sur le triangle BAC, en Fie ; 9 3 posant AD sur AB, et AE sur AC, afin que DE soit parallèle à BC. Nous nous rappellerons alors ,

i°. Que si deux triangles ADE et ABC sont semblables, les quatre côtés AC, AE, AB et AD sont en proportion ( I re part., art. 39 );

2 °. Que dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens (11° part., art. 8 ), et nous conclurons delà que le rectangle ou le produit de AC par AD est égal au rectangle de AE par AB; propriété du cercle très remarquable, et qu’on peut énoncer ainsi : si dans un cercle on tire à volonté deux droites qui se coupent, le produit des

de la première est égal au produit ties de la seconde.

deux parties de la première est ég deux parties de la seconde.

des

*'<g 95. Si les deux droites BE et DC se coupaient perpendiculairement , et que l’une de ces deux droites fïit un diamètre DC , il est clair que les deux parties AB et A£ de l’autre droite BE seraient égales entre elles ; de sorte que la propriété précédeute s’énoncerait ainsi dans ce cas particulier : si sur le diamètre DC d’un cercle on élève une perpendiculaire quelconque AB , le quarré de cette perpendiculaire sera égal au rectangle de AD par AC. ’

11 arrive souvent qu’on a Besoin de changer un rectangle en un quarré l’article précédent en fournil un moyen facile. Soit ACFE le rectangle proposé; on prolongera AC en D, de sorte que AD soit égal à AE, et l’on décrira le demi-cercle DBC, dont le diamètre soit DC.

Prolongeant ensuite le côté EA jusqu’à ce qu’il

1 ' DE GKOMÉTr'ie.

rencontre le demi-cercle, on aura AB pour le côté du quarré cherché ABGH, égal au rec- • tangle donné ACFE. •

On propose souvent un problème qui n’est que Celui que nous venons de résoudre présenté autrement, c’est de trouver une ligne qui Soit moyenne . proportionnelle entre deux lignes données. On entend alors par la moyenne proportionnelle, la ligne qui est aussi grande par rapport à la plus petite des deux lignes données, qu’elle est. petite par rapport à la plus grande, c’est-à r dire que si AB, par exemple, est moyenne proportionirelle entre AD et AC> on pourra dire que AD est' à AB comme AB est à AC. Or, il est bien aisé de voir que ce pro-. blême est le même qqe le précédent, puisque (II* part., art. 8) le produit de AD par AC, c’est-à-dire le rectangle de ces deux lignes, sera . égal au produit de AB par AB, c’est-à-dire au quarré de AB. . .

Donc lorsqu’on voudra trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes données, on

ÊLEMENS

changera le rectangle de ces deux lignes en un quarré dont le côté sera la ligne cherchée.

On peut encore trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes, d’une autre maniéré qui suit de la.propriété du cercle ex pli f, s-97* quee dans 1 article i3. Supposons que AG soit . plus. grande des deux lignes données, et AD la plus petite; on élèvera DB perpendiculairement sur AC, et le point B, où elle rencontrera le demi- cercle ABC tracé sur le diamètre AC, donnera la ligne,, AB, moyenne proportionnelle entre AD et AC; car en tirant BC, il est claîr que le triangle ABC sera rectangle en B; donc (l r0 part., art. 38) çe triangle sera semblable au triaDgle ABD, puisque ces deux triangles ont d’ailleurs l’angle A de commun; mais si les triangles ADB et ABC sont semblables, ils ont leurs côtés proportionnels : donc AD est a AB comme AB a AG; .donc AB est moyenne proportionnelle entre AD et AC.

Si l’on voulait changer une figure rectiligne

quelconque en un quatre, il ne faudrait, pour ramener ce problème à l’article a 5 , que faire de cet„te figure un rectangle ; ce qui serait fort facile, à cause que les figures rectilignes ne sont que des assemblages de triangles, que chaque triangle est la moitié d’un rectangle qui a même base et même hauteur, et que tous les rectangle! provenus des triangles ne seront plus qu’un seul rectangle , en leur donnant à tous une hauteur commune (II e part., art. 6). .

.Les figures dont les contours renfermeront des arcs de cercle ^pourront aussi être changées en quarrés lorsqu’on, aura mesuré par pratique la longueur des arcs dont elles seront compo-, sées; car on pourra alors changer ces figures, ainsi que les rectilignes^ en rectangles. On aura recours pour cela aux articles 9 et 10, où l’on a appris à mesurer toutes sortes de figures cir-

culaires.

On tire encore de la propriété du cercle , ex-

j 22 ÉLÊMEN'S

pliquée dans l’article 24, «ne méthode bien facile pour faire un quarré qui soit à un quarré donné, en raison donnée, problème que nous ' avions promis dans l’article 22 de la seconde