L’équation (279) se simplifiera si l’on fait
et si, transportant l’origine au centre, en supposant x = 3/ -1- a, on dispose de l’indéterminée « , par la condition que le coefficient de la première puissance de x/ s’évanouisse. Faisant donc cette substitution dans l’équation (279), nous trouverons, après avoir divisé par a*,
a* ; x -f- 1 mx : — 1
Égalant à zéro le coefficient de x/, on a
« = rv>
Élém. de Mécanique.
cetto valeur, étant introduite dans le dernier terme de l'équation (a8i>> le chango on L , ,
Or l'équation (280) nous donne
Mettant cotte valeur à la place du dernier termo de l’équation (281), et supprimant le second terme qui, d’après notre équation de condition, est nul, cette équation deviendra
et, en faisant évanouir les dénominateurs, on obtiendra . b' p*y* — a*b’*x'' •+■ o*/a* =0.. . (282).
Dans cette équation l’origine des coordonnées est transportée au centre ; par conséquent, si l’on "égale y à zéro, et qu’on tire la racine carrée de la valeur de x'1, on aura
demi grand axe = j->. . . (283).
Opérant de même à l’égard de a/, on trouvera encore
demi petit axe =
Cette valeur est imaginaire quand b ' est positif dans notre équation, aussi avons-nous vu, art. 4*°> Tuc la courbe était alors une hyperbole; mais cette valeur devient réelle quand V est négatif, et lorsque, par conséquent, la courbe est une ellipse. Dans 00 cas , V étant négatif, si l’on remplace b' par ■*— b', on aura
demi petit axe = — — .
4i5. Ce résultat est conforme à celui que l’on aurait trouvé par la considération que le petit axe est une moyenne proportionnelle entre le demi grand axe et le paramètre dont on a donné les valeurs.
416. Ayant ainsi déterminé les élémens principaux do notre courbe, il nous sera facile maintenant do démontrer la 3e loi de Képler' En effet, on sait qu’en désignant par 1 ; «r le rapport du diamètre & la circonférence, l’aire d’une ellipse dont A et B sont le demi-grand et
DU SYSTEM K DU MONDE. 2 5g
le demi petit axe, a pour expression rAB. Par conséquent, si nous mettons, au lieu de A et de B, les valeurs déterminées par lea équations (»83) et (a84)j nous trouverons ,
aire de l'ellipse décrite par la planète = ■ . . (a85).
Remplaçant p par p — — , et observant qu'alors le second membre de ^ P
l'équation (a85) peut s'écrire ainsi :
nous aurons
aire de l'ellipse décrite par la planète
— jhl (^Y
Or, noos avons vu qu’en désignant par i le temps qu’une planète met à parcourir Parc du secteur LCM ( fig. i8a), l’équation (266) donnait Fig.t8a.
2 secteurs LCM
Lorsque t sera le temps d’une révolution entière, que nous désignerons par T, le secteur LCM deviendra la surface de l’ellipse; par conséquent, nous aurons pour ce cas, *■
et comme l’équation (a83) nous montre que £ est le grand axe de
l’ellipse, en nommant D ce grand axe, nous aurons remettant pour p sa valeur donnée par l’équation (070), on aura
De mémo, pour une autre planète m’ qui fait une révolution entière dans un temps T' qui correspond à D' et à 1', on aura encore, fin observant que la masse M du Soleil est la même,
lé l/M + n?
at>0 DYNAMIQUE.
mais, d’après la loi de Newton , les carrés des distances devant être en raison inverse des niasses, nous devons avoir
d’où nous tirerons
W l/M + m' = * l/itt H- m ;
substituant celte valeur dans lYqualibn (287) , nous aurons
A -Tl
comparant celte équation à l’équation (286), on en conclut
T * T' :: dj ;d,j , ou t*:T'»::d»:D'>;
les carrés des révolutions sont donc comme les cubos des distances.
Si - • ^ ' £
417. On peut aussi résoudrele problème inverse , et déduire , du cours elliptique des planètes, la loîdela raison Invertie du carré de la distance. Pour cela, il faut établir que, par hypdt^èse , l’équation (264) se rapporte à l’ellipse j or l’équation polaire èa l’ellipse étant de la forme — Cr cos a =s B* — Ar , a pour fliffcrqfcÜalfcfr '
La condition d’identité de cette équation h l’équation (364) exige qu’on ait
-• . .. „ , constante
rjRdr = AB1 = constante, ou plutôt Jttdr = t ;
djfierentiant, supprimant dr et comprenant dans la constante le signe
„ constante
négatif qui l’affoctc après la différentiation, U reste K = — , ce
qui prouve la loi de- la raison inverse du carré de la distance.
Du mouvement des projectiles dans le vide.
4j8. Un corps étant sollicite par une force accélératrice constante qui l’entraîne vers le centre de la Terre, la combinaison de cette force avec une force quelconque d’impulsion produit le mouvement des projectiles. Pour déterminer ce
DU MOUVEMENT IMS PROJECTILES. a6l
(Mouvement , soient Ax ,.A r et Aa les axes coordonnés , le mobile n’étant soumis à aueune autre force accélératrice que celle de la pesanteur ; si nous plaçons Taxe des z dans la direction de cette force , comme elle teqdra à diminuer les coordonnées verticales , elle sera négative ; ainsi , en la représentant par — g , nous aurons > ‘ '
Ces valeurs étant mises dans les équations ( 1 84) du mouve-
ment , page 193 , les changent en
*’ dë~°' d?=~~gi
dF
les deux premières étant multipliées par dt et intégrées , donnent
dx dy
Tt=a ’ dl = bi
et l’on voit que les constantes a et b représentent les vitesses du mobile dans le sens des x et dans celui des y. Ce sont ces vitesses qui différencient ce mouvement du mouvement vertical, où elles sont nulles.
Multipliant ensuite par dt et intégrant, il vient x = at -f- a’, y z= bt -(- b’ :
éliminant t entre ces équations , on trouve
ab' — a' b a-
Cette équation est celle d’une droite EC (fig. 186) tracée sur le fig. 186. plan des x , y ; par conséquent , tous les pieds des ordonnées parallèles à l’axa des z, se trouvent sur cette ligne EC ; ce qui montre que la trajectoire ELC est une courbe plane.
419. En résolvant de nouveau le problème dans cette dernière hypothèse, nous n’aurons besoin que de considérer deux
a&2 DYNAMIQUE.
coordonnas , l’une y verticale , et l’antre x horizontale ; et alors nous ne ferons usage que des équations
dïx tPy
dp
dp
Si on les multiplie par dt, on trouvera en intégrant , dx \dr ,
di=a’ I=-gt+h’-- (a88K
Multipliant de nouveau par dt et intégrant , il viendra X=at + a', y=z — ±gp-{-bt + b' . . . (289).
Pour déterminer les constantes, nous supposerons que le temps soit compté à partir de l’origine ; alors nous aurons à la fois
x = o , y — o , et t = o :
cette hypothèse donne
a' = o , et b' — o, ce qui réduit les équations (289) à
x=at, y= — ±gt‘+bt..
Mettant dans la seconde équation la valeur de / tirée de la première, nous obtiendrons
y = tx—±g£... (290).
Pour déterminer a et b , les équations (288) nous montrent que ces constantes sont ce que deviennent la vitesse horizontale et la vitesse verticale du mobile, lorsque t =0. Nommons donc V la Altesse initiale , et a l’angle qu’elle fait avec l’axe des x, ses composantes seront
doue
V cos et parallèlement à l’axe des x,
V sin a parallèlement àd’axe des y ;
n — V cos a.,' ’b =2 V sin a.
DU MOUVEMENT DES EHOJ ECT1LKS. 263
Substituant res valeurs dans l'équation (ayo) , nous aurons
* y-^artang^^^ — ... (29 0-
4ao. 11 est facile de reconnaître dans cette courbe une |»arabolequi, partant de l’origine A (fig. 187), s’élève d’abord au- Fin. 187. dessus de l’axe des x , et se prolonge ensuite au-dessous de cet axe ; car l’équation (291) étant de la forme
y = mx — nx
si nous faisons y — o pour avoir les points où la courbe ren contre l’axe des x , nous trouverons
x — o , et x — — .
Or je dis que pour toute valeur de x moindre que — , l’ordonnée
fl
sera positive, tandis qu’elle sera négative pour toute valeur
qui surpassera — . En effet , multipliant par nx les deux termes
de l’inégalité
on trouvera nx * mx , ce qui est la condition nécessaire pour
que y soit positif. On démontrerait de la même manière que
lorsqu’on ai>-, la valeur de/ doit être négative.
4*i. Désignons par h la hauteur de laquelle le mobile devrait tomber pour acquérir la vitesse V, nous aurons , art. 307,
V — [/zgh. . , (292);
au moyen de cette valeur, l’équation (291) devient
JC^ 1
y = x tang « — y- . . . (293).
4 h cos*a
4^2. On appelle amplitude la distance de l’origine A au point B, où la courbe coupe l’axe des x. Pour la. déterminer, on fera donc y — o ; et la valeur de x qui n’est pas nulle Sera l’amplitude. Ainsi, en égalant la valeur de,j ù zéro , l’équation (29,3) nous donnera
x — o, ou x — 4A tang a éos’ Se ; '
et en observant que le produit de la tangente par le cpsinqs est la même chose que le sinus , l’équation précédente reviendra à celle-ci
x = 4/1 sin a cos a ;
par conséquent nous aurons
amplitude sous l’angle a = 4/1 sin « cos a . . . (294).
Si , dans cette équation, on remplace 2 sin a. cos « par sin 2a (*), l’équation précédente devient
amplitude sous t angle a = 2 h sin 2a. .. (295).
C'est d’après cette équation que Galilée, Blondel, Bélidor et d’autres auteurs , ont construit des tables de Balistique.
423. La hauteur du jet est la plus grande ordonnée. Pour déterminer 1 abscisse qui correspond à la hauteur du jet, il faut, d, après la méthode des maxima et minima , égaler la V4-
leur de à zéro , ce qui donnera
dy
-j- — tang a ■
2 h cos1 a
on tirera de cette équation
x = 2 h cos’ tang « ;
( ) Gn peut remorquer que si l’on fait h = a dans la formule sin (o -f. &) =r sin n cos b -f- sin b cos a t sin la 2 .sin a cos a.
il vient
