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t-vj-Jl 'j*7®

.■' v « Faisant G =r -j A , et supprimant W diviseur commun a , on a

en^n

P y ,+P’ -k logO’H- V/ > 4-/»*) = A~ — • - (3« i).

pour déterminer la

constante A, nous remarquerons que la

w/«V r fV ” .

' -, valeur - de p est la tangente trigonométrique de l’angle que

t . H al

t l’element de la courbe fait avec l’axe des x. Si nous appelons a. cet angle à l’origine qu’on suppose placée au point A (fig. 189), où se trouve le projectile lorsque t est nul , nous aurons en -■> ”* ' j.v même temps

• j;io, y -=z a , s — o, et p— tanga.

Substituant ces valeurs de s et de p dans l’éqnation précédente,

on trouvera

A = tang cl y 1 + tang' cl

• . .. ^ -4- log ( tang a + \/r+ tang1 a) -f- wV, ^ gV

KL*. . ^ " f

' v on regardera donc la constante de l’équation (3i i) comme une

£.• ' m 'V , quantité connue.

4» •' • ’ 4^®- l’on ^'mine f’,m‘ entre l’équation (3i 1) et celle que

nous avons marquée par le n° 3o3, on obtiendra

w[p V 1 -+-P1 -+- log [p + V 1 +/>’) — A ]

éàl M' r

Multipliant cette équation terme à terme par celle-ci ,

dL —

• " ‘«t on trouvera

& tàfc : jj ,

ï * À|*'sjE K '"f r ^ 1 +/'1 4- log (/' -+- « +/»*) — a]

pdp

lits pbojbctu.es dans un milieu résistant .y 277 rifjdc

dt1

• • NU 1 • 4,7 t . \z-, ' . UJ'®, n

Mettant dans cette équation la valeur de djt, on a * — dp1

dP =

mg[P [/ 1 -i— p1 + bg (p + v/ r+^J— a] :./•'>.*;/ $K

ou, en changeant les signes du numérateur et du dériomiuateur,

rff*

s »«r[— zV » + p’ — log(/»+v/ 1 -f-z>\)-M]'-> ^

Passant à la racine carrée , le second membre de cette équation devra en général être affecté du double signe ; mais, dans . V* $ . ' * notre cas, nous choisirons le signe négatif, parce qu’on sait cpte . *

toute équation entre deux variables t et p pouvant être consi dérée comme celle d’une courbe dont t serait l’abscisse et p l’ordonnée , si en même temps que t augmente , p diminue , on A- ^

doit avoir dt et dp de signes contraires (*). Or, dans le cas pré-

CDnf il OcK Ilir l/ïont rf II \\ •VIAI'imn rm • . «V 1 . • ‘ t- *

sent, il est évident qu’à mesure que le temps t augmente, p &XÏ..W

On pourrait le démontrer decetle manière : soit t —fp, si p diminuo de h, t devient P =/(/> — A); développant par la formule de Tajrlor, on trouve . \j '.“"nWK.

d’fi A> d'pt'i AJ ' 1

dt "^ dïï 77i ~ dï* *.im + ütC

Par hypothèse, t s’accroissant qiNind p diminue, t' — 1 est une quantité T positive; il en est de même de — £.h 4-otc. Or, on prenant A assez.

. -jt** V-.»* * r * '•»* « » ,

tit pour que Je premier terme du développement de f-rt décide du signe de ce développement, il faut que — soit un nombre positif, et) qui

ne peut être à moins que ~ 11e représente une quantité négative, car le

facteur A est essentiel lemcn! positif. Donc dp et dt sont de signes con-

traires.

lu.

, Gooale

270 t •' -t IflYKAMiQlIE.

qui est la tangente tfigonometrique de l’angle formé par l’élément de la courbe avec M. parallèle à l’axe des x , diminue dans là tranche ascendante, qui est celle que nous considérons ; donc

tr leurs valeurs , on trouvera

log (-P+ V »

1er Tare s en fonction de

l’exposant de e en té , on obtiendra

44*. Pour llëquatioi^xle la' trajectoire , Hl>.fi>ûdràh

tégfjgy Jes^equaUoits (S ta) etf!(3 >3) : on n’y--*

ÿju’À ^sans recourir aux séries. Cela

UES l'ROJECTlLES HANS UN MILIEU RÉSISTANT.

Pour parvenir à ce but, uous les mettrons sous lu (jurmc V'r dx=Çp.dp... (3|6),

<ly = A'P.<l]>- • •’ (3 1 7)-

Kn 11e considérant d’abord que la première, cl|e donne

T = dp

et uous voyons que — u’eôt autre chose que la tangente frigo- * tlP !-

liomé trique d’une courbe dont y/Vruit l'abscisse» x l’ordonnée. ^

C’est cette courbe que nous allons d’abord chercher à colis A truire, parce «pic nous nous en servirons ensuite pour detiÿ- 1 miner les différons points de la trajectoire. i\ous la distingue- * i rons de celle-ci en la nommant courbe aux Hi dire.

<î ' Ayantdoncmenédeuxàxes rectangulaires AyietAjrJig. 196), pjg.njo. 4|p

îjçon portera de A en B une droite AB — tang ï , et le point B

appartiendra à la courbe auxiliaire, puisque (ai t. 4®j), lVrdbu*

V *~jtd

-u * Tii

-, nee x — o correspond à l’abscisse p ’±r tang a. Si Ion partage ^'ensuite AB en parties égalés BB', B'B", B'B, etc., ef.tju'on re- , présente l’une de ces parties par dp , il sera facile de construire approximativement les points M', Al", M’", etc. , de la courbe auxiliaire qui correspondent aux points B’, B”, B"', etc. En effet, si l’on suppose que lcx points B,t$ , li , etc., soient très rapproches, on pourra regarder les arcs de courbe M B . \l M', etc., comme se confondant avec les tangentes M'B, M*M', M”’M" <pii seraient menées aux points M',

Cela subit pour pouvoir calcule) les ordonnées M'B . M B , M'B"', etc. Eti effet, la tangente irigouomélrique de l’angle formé par l’élement de lac bô a vin la par. ili.it à l’axe

tles p , ctatil en générai - , sa valeur nuits sera toVijo o clou

nee par l'équation (3 iti) , dès que nous aurous lixé la valeur de Ainsi , lorsqu ou vept avoir la tangente IrigoftoiUBr louiufr |>ar la tangente eu M' aveol’axr

' l’abscisse p. Ainsi , loi

. trique de I angle M Bu, Ion

AÏCv «

Cela posé , l’ordonnée M'B' avant pour expression 1' X tant- M'BB', nous aurons

moyen des coordonnées

ABV — tang u — y dp-, et par le même raisonnement , on prouvera que la tangente trigono®étrique de l’angle M'M'O a poui expression

dp'} , et que par conséquent M"0 == dp x — (p (tang -t — ?dj>) -,

.mettant cette valeur et celle de M'B' dans l’cqualion M"B* = M'B' -J- M"0,

Oit trouvera

< . + ’Slr

M"B" — — dp . $ (tang a — dp) — dp <p (tang a — 2 dp).

*4r'* e ■ jéu' ~

Pour calculer l’ordonnée M'"B'" qui correspond à l'abscisse AB'' — tang a — 3 dp, il suffira d’ajouter à la valeur de M'B" celle de M' O' qui , d'apres re oui précède,' équivaut

des abscisses, comme l’abscisse du point M' est AB' = AB — BB'

'*♦ •' — tang 1 — dp, il faudra changer p en tanga — dp dans la

• r* & dx 1 - dx &

A * * tjyI m »é*^n lin /l/svinoA tvn •• Pinmintinn /”î • Ct\ . — a .1 *tf - J

Weui* '<tp de — donnée par l’équation (3 1 6) ; et deviéndra

tang M'B/» — Ç (tang a — dp)-,

. * &Î&Ê: M'B' -rf/X—p: tang

et — r

Ainsi l’on construira le point M' de la courbe auxiliaire BC au

Pour déterminer un troisième point M", on prendra