Dans le choc des corps durs, la différence des forces

vives qui ont lieu avant et après le choc, n’est pas égale à zéro , comme lorsque les. corps étaient élastiques , mais elle se trouve égale à lâ somme des forces vives des masses animées des vitesses perdues ou gagnées. »--■•••

3 JP * hïkaai Htiiy.

O; théorème est du « Carnoi. Voici une manière très simple de le démontrer.

Les vitesses perdues par les corps M et M' étant V — «et V' — «, si les masses M et M' se trouvaient animées de ces vitesses, leurs forces vives seraient respectivement,

M (V — «)a et «)’(*);

égalant cette expression à son développement , nous aurons l’équation identique

= + 2«(MV+M'V'). . . (338

éliminant MV-f-M'V' nu moyen del’équation

MV-f-M'V'

“ IVL+M7-’

le second membre de l’équation (33.8) se réduit à MV1-|-M'V'2 — (M-j-M') «* ;

par conséquent l’équation (3a8), en changeant réciproquement de membres , peut se mettre sous la forme

WV’-f-M'V'1 — (M-f-M') «J =M (V— «)*-f-M' (V' — «)•;

ce qui vérifie le théorème que nous avons énoncé.

Principe de d J lemhert.

;68. Lorsque l’on considère un système de corps liés entre eux d une manière invariable, la liaison mutuelle de ces corps devra les empêcher d’obéir aux motivemens qui les anime- 1 aient chacun en particulier, s ils n étaient point dependans

'*) Comme le carré de V — n ost également colni de u — V, on voit que le» expression» M(V — «)» et M(V'— «)> sont aussi celles des force» rives dues aux vitesses gagnée» u — fV ut u — V'. .

PRINCIPE 1>E lt’xLBMBKRT.

les uns «les autres : les vitesses de res rorps seront altérée* et se troubleront mutuellement. Par exemple, si plusieurs points matériels M , M', M" (fig. ig5) sont fixés à une droite inflexible Fig. 195. AL, mobile autour du point A, il est certain que dans le temps 0 la pesanteur qu’on suppose constante , vu le peu de longueur de AL , agissant de la même manière sur chacun de ces points, ils devraient , s’ils étaient libres, parcourir dans le temps 0 des verticales égales; mais les points M, M', M", etc. , ne pouvant se mouvoir qu’avec la droite AL , sont forcés de parcourir les arcs MK , M'K' , M"K" , etc. , dans cet instant 0 ; par conséquent les droites IK, I'K', I"K", etc. exprimeront les effets «le la pesanteur sur les points M , M', M", etc. , dans le temps 0. Ces droites IK , I'K', 1"K", cto», étant proportionnelles aux arcs MK , M'K', M"K", etc., et par conséquent aux rayons AM, AM', AM", etc., il suit delà que les vitesses effectives des différens points du système sont d’autant moindres que ces points sont plus rapprochés du centre A; tandis que si les points M, M', M", etc. , étaient libres, ces vitesses seraient égales.

469. Les vitesses effectives étant donc differentes de celles qui ont été communiquées au système , on ne pourra déterminer les divers mouvemens qui l’affectent, que lorsqu’on sera parvenu à exprimer les vitesses effectives en fonction des vitesses qui ont été transmises primitivement aux mobiles, et qui sont censées connues. C’est à quoi l’on parviendra facilement à l’aide d'un principe de dynamique que nous allons deinontrer, et qui est dû à d’Alembert.

470. Soient v , v1 , ef, v'“ , etc. , les vitesses -qui animeraient,

les corps M , M' , M* , M*, etc. , s’ils agissaient indépendammént les uns des autres, et «, «' , etc., les vitesses

que prennent an lieu de « , e', e" , e" , etc. , ces corps lorsqu’ils sent lies entre eux d’une manière invariable. L’une «les com- ( {Misantes d’une vitesse éta#t arbitraire , nous prendrons pohr

WfflM

^^8 wmtMtqfi*. ■-•

composante de Ha vitesse effective « ; l’autre composante sera déterminée, et nous la représenterons par U. En opérant ainsi à l’égard des autres forces^ on peut , à la place de e, .< , v" , , etc. , substituer les vitesses

• * « et U composantes de v ,

u' et U' composantes dè e', ,

V u" et U" composantes-de e",

*» u”’ et U'" composantes dç vm,

etc.

etc.

etc..

et alors les quantités de mouvement qui entrent dans le système , considéré comme libre, et gui sont M», M v , M «» , M'V'*, etc., deviendront

M«» MV, MV', M>", etc.,

MU, M'U,\ M"U"> MU', etc. ; .

mais si les corps ne sont plus libres , ces quantités de mouvement doivent se réduire ù

Mm, MV, M"m", M'V", etc.

U faut donc queles quantités de mouvement MU , M'U', M'U , M'"U", etc., se fassent équilibre.

On observera que MU, M'U', M"U", M'U', etc., sont les quantités de mouvement dues aux vitesses gagni < s <>u pu < n s En effet , Me étant la diagonale d’un parallélogramme < opt Mm et MU seraient les côtés , on voit <|ue si la composante A devient nulle', M«se réduira à Mc; d’où il suit que MU est une quantité de mouvement introduite dans le s^me par^e changement qui s’y est opère; il en est de ta** deMlK.de

etc*

On peut donc énoncer ce principe en disant, qu il faut

les quantités de mouvement dues aux vitesses gagnées ou per-

dites se fassent équilibre ; car si cela n avait pas heu , J y aurait de l'altération daus le système, et u, u', u", u , etc.,

PRINCIPE ue u'alembert. aqq

ne pourraient être les vitesses effectives qui animent M , M' ,

M" , M", etc.