Nous avons vu que la vitesse c avait pour compo

santés U et «; et comme en général il y a toujours équilibre entre trois./orçes dont l’une serait égale et directement opposée à la résultante des deux autres, il suit de laïque les trois forces Mm, MU et — Mc doivent être en équilibré. Or en regardant à son tour MU comme égale et d’uu signe contraire à la résultante des deux autres forces , il faudra que — - MU soit la .résultante de Mm et de — Me; par conséquent MU sera la résultante de — Mm et de -{-Mc.

Ce que nons disons de MU pouvant s’appliquer aux forces M'U', M"U"^ etc., à l’égard de leurs composantes , on peut, en substituant les composantes aux forces, donner cet autre énoncé an principe de d’Alembert : Il y aura équilibre • entre les quantités de mouvement Mv, MV, etc. imprimées à chacun des mobiles, et les quantités de mouvement effectives Mu , M'u', M"u", éïc. qui seraient prises cri sens contraires de leurs directions.

47 ?.. Pour première application de ce principe, considérons le choc de deux corps durs M et M' qui vont dans le mèruc sens.

Soient cet d leurs vitesses avant le choc , et u leur vitesse commune après le choc. La vitesse perdue par M étant, égalé à celle qu’avait le mobile moins celle qui lui reste , sera exprimée par c — u , et la vitesse gagnée par M' étant égale à la vitesse u diminuée de c', sera représentée par u — d . Les quantités de mouvement dues à ces vitesses perdues et gagnées devant se faire équilibre par le principe de (J’Alembert , cet équilibre subsistera si l’on a

M (c— m) =± M' ( M— /) ; ; > V ' r ' •• d’où l’on tirera pour la vitesse après le choc ,

Mc + MV

- > -«> • - • •» - - 'K yd l~*

Si les corps allaient à la rencontre l’un de l’autre , v' serait négatif.

473. Pour seconde application , cherchons les vitesses qu’aui'ig. 196. raient deux corps M et M' (fig. 196) , qui liés par un fil MEM qui passe par une poulie de renvoi (E) glisseraient sur deux plans incliné» AB , AC adossés l’un contre l’autre.

Soit Mg une droite qui , passant par le centre de gravité de M, représente la pesanteur g; la composante de g suivant le plan incliné , est MR ; c’est la seule force qui agira sur M ; cette composante MR est égale à

f X cos RMg := g X cos B AD = g X

Pareillement la composante de la pesanteur qui fait glisser M'

. . • ad

sur le plan AC , sera g X ^ .

Nommons AD, h-, AB , /; AC, l' : les forces accélératrices qui agiront sur les mobiles M et M' , seront donc

* gh

Pour obtenir les vitesses qu’auraient ces mobiles s’ils n’étaient pas liés l’un à l’autre , observons que l’équation qui détermine l’intensité d’une force accélératrice quelconque étant en général ,

ou tire de cette équation ,

dv ~ <pdt.

Dans notre cas , les forces accélératrices étant

nous aurons pour les vitesses qui seraient imprimées aux rno-

PRINCIPE DE n'ELKMBKRT.

biles , s’ils étaient libres ,

3or

dt.

Or les vitesses perdues par ces mobiles étant égales à celles qu’ils avaient primitivement , moins celles qui leur restent , ces vitesses perdues seront

— «f — dv pour M,

, eh

ydt — dd pour M'.

Par le principe de d’Alembert , les quantités de mouvement qui correspondent à ces vitesses doivent se faire équilibre ; et comme ces vitesses agissent en sens contraire , il suffira d’égaler entre elles ces quantités de mouvement ; ce qui nous donnera '

Cr*-*) = M' (r*-‘ *')••• <**»•

Par la nature du problème , il existe une relation entre les vitesses inconnues'^ et /; car le mobile M ne peut se mouvoir dans l’unité de temps d’une quantité «sans que M' ne se meuve de puisque ces mobiles étant liés J’un à l’autre , il faut , lorsque M monte , que M' descende. H suit de là que d ce qui donne

• t dd = —~dv ; ,

substituant ces valeurs dans l'équation (3juj), on obtient

hgdt.

et en intégrant , on trouve

3oa '• ' DYNAMIQUE. *' *

ou, en représentant par G le coefficient de t, cette équation

peut être mise sous la forme

* ^ — Gt-|“C> • . [33o]»

Soit x l’espàéçOK parcouru dans le temps t , on aura

V=~dt'

donc

et en intégrant ,

ar = iGr’ + C/-j-C'. . . (33 1). ‘

D’après les.éqnatiops(33o)et (33i), on peut conclure que les circonstances do ce mouvement sont, les mêmes que celles du

mouvement des corps graves, avec cette différence, que la force accélératrice , au lieu d’être g , est G.

4^4. Pour troisième application, proposons-nous de déterminer le mouvement de deux corps M et M', qui , étant attachés l’un à la roue et Fautrc au cylindre d’un tour, se tiennent éfi équilibre. ' v-' •' • ‘ ••

Ces deux corps étant sollicités dans l’instant dt pàr une force accélératrice qui n’est autre chose que la pesanteur , devraient , s’ils étaient libres , avoir chacun dans .l’instant de .la quantité de mouvement gdt. Soient dv et dv' les vitesses effectives de ces mobiles ; elles leur communiqueront les quantités de mouvement Sidc et M ’dd ; par conséquent les quantités de mouvement perdues seront 7

M ( gdt — dv) ■ et HI' ( gdt — dv').

Ces quantités de mouvemént devant se faire équilibre à l’aidé du tour ; et l’une étant appliquée à la roue comme puissance et l’autre au cylindre comme résistance, il faudra que si l’on nomme r le rayon du cylindre, R celui de la roue, on ait

PR INCITE DE D ALT >1 BF.h r.

(ai*. a35) la proportion ,

M (gdt — eh) : M' (gdt — eh') : : r ; R ; -

d’où nous tirerons

MR (gdt — dv) = Wr(gelt-dv'). . . (33a);

comme il entre dans cette équation deux quantités inconnues p’ et «/, nous allons chercher une antre équation qui exprime entre elles une relation. Pour cela nous remarquerons que les vitesses étant dans le rapport des circonférences qu’elles décrivent et par conséquent dans celui des rayons de ces circonférences, nous aurons

dv ; eh'\\ R : r,

ce qui nous donnera

, r * ’ rdv * *• *

substituant cette valeur dans l’équation 332 , nous trouverons

reh\

(gdt — eh) M V (gdt — ~ ) î

multipliant tous les termes par R pour nous débarrasser du diviseur R qui est entre les parenthèses , nous aurons

MR’ (gdt — dv'f= M'r(R^r — rv/é);

effectuant les multiplications indiquées et faisant passer tous les termes affectes de dv dans le premier membre, nous trouverons s

(— MR» — MV) eh = (MVR — MR1) gdt,

changeant les signes et tirant la valeur de eh, nous obtiendrons __(MR — M r)